בדיקת רציפות בנקודה חשודה עבור פונקציה המוגדרת בשלושה ענפים, הכוללת ביטויים מהצורה (x+c−k)1/x ו-ea/x. מחשבים גבולות חד-צדדיים — לרוב בעזרת הצבה לוגריתמית ולהופיטל — ומשווים לערך הפונקציה, תוך הבחנה בין סוגי אי-רציפות.
הופיע ב-22 שאלות על פני 9 שנים, לאחרונה 2026
201820192020202120222023202420252026
2
משפט ויירשטראס הראשון – הוכחה
הוכחת חסימות פונקציה רציפה על קטע סגור. מניחים בשלילה שהפונקציה אינה חסומה, בונים סדרה מתאימה בקטע, מפעילים את משפט בולצנו–ויירשטראס ומגיעים לסתירה עם הרציפות.
הופיע ב-18 שאלות על פני 11 שנים, לאחרונה 2026
20152016201720182019202120222023202420252026
3
חסימות ורציפות על קטעים
בחינת תקפות הכללה מתכונות מקומיות (על תת-קטעים) לתכונות גלובליות — חסימות, רציפות ורציפות במידה שווה. מזהים אם ההכללה נכונה או בונים דוגמה נגדית הממוקדת בקצוות הקטע.
הופיע ב-19 שאלות על פני 5 שנים, לאחרונה 2026
20212023202420252026
4
יחידות גבול סדרה מתכנסת
הוכחת משפט יחידות הגבול לסדרות — מניחים שני גבולות שונים ומגיעים לסתירה באמצעות אי-שוויון המשולש עם בחירת אפסילון קטן מספיק.
הופיע ב-23 שאלות על פני 11 שנים, לאחרונה 2025
20152016201720182019202020212022202320242025
5
קיום קיצון על תחום לא חסום
הוכחת קיום מינימום או מקסימום לפונקציה רציפה על תחום לא חסום, תוך שימוש בתנאי הגבול באינסוף להצרת התחום לקטע סגור וחסום והפעלת משפט ויירשטראס.
הופיע ב-25 שאלות על פני 10 שנים, לאחרונה 2025
2015201620172018202020212022202320242025
6
גבולות חלקיים וחסימות תת-סדרות
שאלות רב-ברירה על קשר בין חסימות סדרה לחסימות תת-סדרותיה, ועל מניית גבולות חלקיים של סכום סדרות. בודקים כל טענה באמצעות דוגמאות נגד ומסקנות ישירות מהגדרות החסימות והגבול החלקי.
הופיע ב-16 שאלות על פני 5 שנים, לאחרונה 2026
20192022202320242026
7
הוכחת משפט בולצנו-ויירשטראס
הוכחת שני משפטי יסוד בתורת הסדרות: כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה מתכנסת, וכל סדרה מתכנסת חסומה. הגישה הנפוצה היא בניית תת-סדרה מונוטונית באמצעות 'איברים שיא', תוך שימוש במשפט הסנדוויץ' או בהגדרת הגבול.
הופיע ב-12 שאלות על פני 9 שנים, לאחרונה 2025
201520162017201820192022202320242025
8
משפט ויירשטראס השני – הוכחה
הוכחה שפונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת מקסימום (ומינימום). מוכיחים תחילה חסימות באמצעות משפט ויירשטראס הראשון, ואז שהסופרמום מושג בנקודה בקטע תוך שימוש ברציפות וסדרת נקודות מתכנסת.
הופיע ב-20 שאלות על פני 8 שנים, לאחרונה 2025
20152016201920202021202320242025
9
רציפות וגבולות באינסוף – הוכחה
הוכחה שפונקציה רציפה השומרת על סימן קבוע (בעזרת משפט ערך הביניים) שואפת לאינסוף חיובי או שלילי, על ידי ניצול חסם תחתון חיובי המתבדר באינסוף.
הופיע ב-13 שאלות על פני 6 שנים, לאחרונה 2025
201620192022202320242025
10
מונוטוניות, נגזרת חיובית וגבול באינסוף
קשר בין סימן הנגזרת לגבול באינסוף של פונקציה עולה. מוכיחים את הטענה החיובית (נגזרת חסומה מלמטה על-ידי קבוע) באמצעות משפט הערך הממוצע, ומפריכים את השנייה (נגזרת חיובית בלבד) בדוגמת נגד של פונקציה עולה עם גבול סופי.
הופיע ב-19 שאלות על פני 8 שנים, לאחרונה 2025
20152016201820192021202220242025
11
רציפות במידה שווה – הוכחה או הפרכה
בדיקת רציפות במידה שווה של פונקציות עם נקודות בעייתיות בקצוות הקטע. בוחנים האם הפונקציה חסומה, אם הגבול בקצוות קיים וסופי, ומשתמשים בקריטריונים כגון רציפות על קטע סגור וחסום או אי-רציפות אחידה דרך סדרות נגדיות.
הופיע ב-21 שאלות על פני 9 שנים, לאחרונה 2025
201520162017201820192021202220232025
12
הוכחת גבולות סדרות קלאסיים
הוכחות פורמליות של גבולות סדרות מוכרים הכוללים חזקות ושורשים. משתמשים בלוגריתם ורציפות, אי-שוויון ברנולי, כריכה בין גבול פונקציה לגבול סדרה, והגדרת גבול חלקי עם אפסילון.
הופיע ב-14 שאלות על פני 6 שנים, לאחרונה 2025
201620182019202320242025
13
אי-שוויונות עם arctan, הוכחה בנגזרת
הוכחת אי-שוויונות הכוללים פונקציית הארקטנגנס לכל x חיובי. מגדירים פונקציית עזר כהפרש בין שני האגפים, בודקים את ערכה בנקודה 0 ומוכיחים מונוטוניות עולה או יורדת באמצעות סימן הנגזרת.
הופיע ב-22 שאלות על פני 10 שנים, לאחרונה 2024
2015201620172018201920202021202220232024
14
אפסי נגזרות ומשפט רול
קשר בין מספר אפסי פונקציה לבין מספר אפסי נגזרתה. מפעילים את משפט רול בין כל זוג אפסים עוקבים של f כדי להבטיח קיום אפס של f′, ולהפריך טענות מוגזמות בנגד-דוגמה.
הופיע ב-18 שאלות על פני 8 שנים, לאחרונה 2024
20162018201920202021202220232024
15
גזירות גוררת רציפות – הוכחה
הוכחת המשפט שלפיו גזירות בנקודה מבטיחה רציפות בה. מציבים את הגדרת הנגזרת וכותבים את f(x)−f(x₀) כמכפלה של הגבול הקיים ושל (x−x₀), ומסיקים שהגבול של f בנקודה שווה לערכה שם.
הופיע ב-21 שאלות על פני 9 שנים, לאחרונה 2024
201520162017201820202021202220232024
16
הוכחת משפט ערך הביניים ומשפט רול
הוכחות פורמליות של משפט ערך הביניים (קיום שורש) ומשפט רול. בונים סדרת קטעים מתכווצת בשיטת החצייה, מסיקים התכנסות בעזרת שלמות הממשיים, ומשתמשים ברציפות ובמשפט הערך הקיצוני להשלמת ההוכחה.
הופיע ב-17 שאלות על פני 9 שנים, לאחרונה 2024
201520162017201820192021202220232024
17
גבול מכפלת סדרות אינסופי
תנאים שתחתם מכפלת שתי סדרות השואפת לאינסוף מחייבת לפחות אחת מהן לשאוף לאינסוף. מוכיחים באמצעות הנחת השלילה או מציאים דוגמת נגד המנצלת חסימות או אי-שמירת הסימן.
הופיע ב-15 שאלות על פני 7 שנים, לאחרונה 2025
2015201620172018201920242025
18
הוכחות על גבולות סדרות מתבדרות
הוכחה פורמלית של תכונות גבול סדרות עולות, בלתי חסומות או מתבדרות לאינסוף. משתמשים בהגדרת אפסילון-דלתא, במשפטי סנדוויץ', ובטכניקת השוואת תת-סדרות כדי לקבל סתירה או חסם תחתון גדל.
הופיע ב-15 שאלות על פני 7 שנים, לאחרונה 2024
2015201820192021202220232024
19
קמירות ומונוטוניות עם משפט הערך הממוצע
הוכחות הקשורות לקמירות (f″>0) ומונוטוניות של f ו-f′. משתמשים במשפט לגראנז' כדי לקשור ערכי הנגזרת לערכי הפונקציה, ומסיקים חסימות או התבדרות לאינסוף.
הופיע ב-14 שאלות על פני 6 שנים, לאחרונה 2025
201520162019202120232025
20
הוכחה/הפרכה: סדרות וחסימות פונקציות
חלק א' עוסק בגבול מהצורה (a_n)^n עבור סדרות חיוביות — מנתחים את התנהגות הסדרה ומחפשים דוגמת נגד או מוכיחים באמצעות לוגריתם וכלל הסנדוויץ'. חלק ב' בוחן חסימות או רציפות במידה שווה של פונקציות עם גבול אפס בראשית, תוך שימוש בפיתוח טיילור לבדיקת ההתנהגות בסביבת אפס ובאינסוף.
הופיע ב-25 שאלות על פני 6 שנים, לאחרונה 2025
201520162017201820242025
21
גבולות מסוג חזקה משתנה וסדרות עם פרמטר
גבולות מהצורה f(x)^g(x) עם אינדטרמינציה, וגבולות סדרות התלויות בפרמטר. מעבירים לצורת אקספוננט ולוגריתם ומפעילים כלל לופיטל או ממיינים לפי ערך הפרמטר.
הופיע ב-12 שאלות על פני 6 שנים, לאחרונה 2024
201520192020202120232024
22
גבולות חלקיים ו-lim sup/inf בסדרות
סדרות המוגדרות בשתי תת-סדרות שזורות בעלות התנהגות שונה — אחת שואפת לאינסוף ואחת שואפת לגבול סופי. מזהים את תת-הסדרות, מחשבים את גבולותיהן החלקיים, ומשווים את lim sup ו-lim inf לסופרמום, אינפימום ומינימום של קבוצת הערכים.
הופיע ב-18 שאלות על פני 6 שנים, לאחרונה 2024
201620192020202120222024
23
הוכחת העדר רציפות במידה שווה
מוכיחים שפונקציה גזירה אינה רציפה במידה שווה על קטע אינסופי. האסטרטגיה: משתמשים במשפט הערך הממוצע להערכת הפרש ערכים, ומסיקים שה-ε-δ תנאי נכשל עבור ε קטן קבוע.
הופיע ב-14 שאלות על פני 6 שנים, לאחרונה 2024
201520182019202120222024
24
הוכחת הגדרה טובה לסדרה רקורסיבית
הוכחה באינדוקציה שסדרה רקורסיבית מוגדרת היטב, כלומר שכל איבר חיובי. מניחים את טענת האינדוקציה על האיבר הנוכחי ומראים שהאיבר הבא חיובי לפי כלל הנסיגה.
הופיע ב-19 שאלות על פני 6 שנים, לאחרונה 2023
201820192020202120222023
25
התכנסות סדרות רקורסיביות וגבולות חלקיים
סדרות המוגדרות באופן רקורסיבי, לרוב עם תתי-סדרות בעלות גבולות שונים. מוכיחים התכנסות או התבדרות באמצעות כליאה, מונוטוניות, וניתוח גבולות חלקיים של תתי-הסדרות הזוגיות והאי-זוגיות בנפרד.
הופיע ב-25 שאלות על פני 8 שנים, לאחרונה 2023
20152016201720182019202120222023
26
גבול סדרה רקורסיבית
סדרות המוגדרות על-ידי כלל רקורסיבי מסוג x_{n+1}=f(x_n). מוכיחים התכנסות (לרוב באמצעות מונוטוניות וחסימות), מזהים את הגבול כנקודת שבת של f, ומחשבים יחסי איברים עוקבים בעזרת גבולות של פונקציות אלמנטריות.
הופיע ב-19 שאלות על פני 4 שנים, לאחרונה 2024
2015202120232024
27
סדרות חסומות והתבדרות
תכונות של סדרות חסומות עם אילוצים על ההפרשים הרצופים או על סימני האיברים. מפרידים לתתי-סדרות באינדקסים זוגיים ואי-זוגיים, בוחנים מונוטוניות כל תת-סדרה ומסיקים על גבולות עליונים ותחתונים.
הופיע ב-21 שאלות על פני 7 שנים, לאחרונה 2024
2015201620172018201920212024
28
הוכחת אי-שוויונות עם לוגריתם
הוכחה או הפרכה של אי-שוויונות הכוללים ln באמצעות הגדרת פונקצית הפרש, בדיקת מונוטוניות ונקודות קיצון כדי להראות שהפונקציה אי-שלילית (או שלילית) לכל x>0.
הופיע ב-14 שאלות על פני 5 שנים, לאחרונה 2024
20152019202020212024
29
רציפות בקטע פתוח עם גבולות קצה
פונקציה רציפה בקטע פתוח עם גבולות ידועים בקצוות — בוחנים אילו מסקנות (טווח, חסימות, מונוטוניות, מקסימום) הכרחיות ואילו לא, תוך שימוש במשפט ערך הביניים והצגת דוגמאות נגדיות להפרכה.
הופיע ב-14 שאלות על פני 6 שנים, לאחרונה 2023
201520172018201920222023
30
גבול סדרות: הוכח או הפרך
טענות על התנהגות סדרות השואפות לאינסוף — קצב גדילה, שורש ה-n וגבולות יחס. מנסחים הוכחה מהגדרת הגבול או בונים דוגמה נגדית המפריכה את הטענה.
הופיע ב-13 שאלות על פני 7 שנים, לאחרונה 2022
2015201720182019202020212022
31
סדרות רקורסיביות עם אינדקסים זוגיים ואי-זוגיים
פיצול סדרה רקורסיבית לשתי תת-סדרות לפי זוגיות האינדקס, ולאחר מכן הוכחה באינדוקציה של קשר סדר ביניהן, או הוכחת התכנסות בעזרת מונוטוניות וחסימות.
הופיע ב-22 שאלות על פני 6 שנים, לאחרונה 2022
201720182019202020212022
32
אפיון רציפות במידה שווה באמצעות סדרות
הוכחת שקילות בין רציפות במידה שווה לבין התנאי הסדרתי: התקרבות הפרשי הסדרות גוררת התקרבות הפרשי הפונקציה. מוכיחים בכל כיוון ישירות מהגדרת רציפות במידה שווה, תוך שימוש בטיעון בדומה להוכחת משפט קנטור (בחירת תת-סדרה מהתנאי השולל).
הופיע ב-13 שאלות על פני 7 שנים, לאחרונה 2022
2015201620172019202020212022
33
הוכחה או הפרכה על גבולות סדרות
טענות על קשרים בין תכונות סדרות — לימים, גבולות חלקיים, סופרמום ומכפלות איברים עוקבים. מוכיחים באמצעות הגדרת הגבול, מציאת דוגמת נגד, או שימוש במשפטים על גבולות חלקיים ו-limsup.