אופרטורים לינאריים על מרחבי פולינומים: מציאת מטריצת הייצוג, גרעין ותמונה, ולאחר מכן אלכסון — מחשבים ערכים עצמיים, בודקים שריבויים אלגבריים וגיאומטריים שווים, ומשתמשים בוקטורים עצמיים כבסיס.
קביעת לכסינות מטריצה משולשת או כמעט-משולשת התלויה בפרמטר. מוצאים את הערכים העצמיים מהאלכסון הראשי, בודקים כפליות אלגברית מול גיאומטרית לכל ערך עצמי חוזר, ומזהים לאילו ערכי הפרמטר מתקיים שוויון.
בדיקה האם סכום שני תת-מרחבים שווה למרחב כולו והאם הוא ישר. מוצאים בסיס ומימד לכל תת-מרחב, מחשבים את החיתוך באמצעות נוסחת המימד, ומסיקים לגבי הסכום הישר.
מציאת בסיס ומימד לגרעין ולתמונה של העתקה לינארית בין מרחבי מטריצות. כותבים את התנאי T(A)=0 או מביעים את התמונה כמרחב פרישה, מצמצמים למערכת משוואות ומוצאים בסיס לפתרונות.