אלגברה לינארית 2 האוניברסיטה הפתוחה – סטטיסטיקות מבחנים | prepd
אלגברה לינארית 2 – סטטיסטיקות מבחנים
מבוסס על 1228 שאלות מ-50 מבחנים (2005–2025)
סוגי השאלות הנפוצים ביותר
1
צורת ז'ורדן וזיהוי בלוקים
מציאת צורת ז'ורדן של מטריצה נתונה או סיווג כל הצורות האפשריות לפי אילוצים. מחשבים את הפולינום האופייני והמינימלי, מזהים ערכים עצמיים, ומשתמשים בדרגות הגרעינים כדי לקבוע את גודל בלוקי ז'ורדן.
קביעת סדר המטריצה וחישוב הפולינומים האופייני והמינימלי כשנתון תנאי אפסות פולינומי. מזהים את הערכים העצמיים מגורמי התנאי, קובעים ריבויים על-פי det או trace, ומסיקים מהו הפולינום המינימלי מתוך מחלקי הפולינום האפסי.
קביעת חיוביות (לחלוטין או חצי-חיובית) של תבנית ריבועית המוצגת ישירות או דרך מכפלה פנימית עם מטריצה. מחשבים את הערכים העצמיים של המטריצה הסימטרית המייצגת (או בודקים מינורים ראשיים) ומסיקים את סוג ההגדרה.
הופיע ב-25 שאלות על פני 7 שנים, לאחרונה 2025
2013201720182021202220242025
5
צורת ז'ורדן של העתקות לינאריות
מציאת צורת ז'ורדן ובסיס ז'ורדן להעתקות לינאריות ב-ℝ³, כולל מקרים של הופכי ופולינום מינימלי. מחשבים ערכים עצמיים, קובעים את גדלי בלוקי ז'ורדן לפי ממדי המרחבים העצמיים הגנרליים, ומוצאים שרשראות ז'ורדן לבניית מטריצת המעבר.
קביעת ערכי פרמטר שעבורם צורה ריבועית חיובית לחלוטין או חיובית למחצה. בונים את מטריצת הצורה הסימטרית ומפעילים את קריטריון סילבסטר — בודקים שכל מינורים הראשיים חיוביים (לחלוטין) או אי-שליליים (למחצה).
הופיע ב-20 שאלות על פני 12 שנים, לאחרונה 2024
200820092012201420152016201820192020202220232024
7
חסמים על נורמה עם אופרטור צמוד
נתונה משוואה מהצורה (aI−T)T∗=bI; מציבים וקטור יחידה, מפעילים מכפלה פנימית ותכונות הצמוד כדי לקבל אי-שוויון על ערכי ∥T(v)∥2 ומסיקים חסמים עליון ותחתון.
הוכחה שאופרטור המקיים משוואה פולינומית ב-T ו-T* הוא נורמלי, ולאחר מכן הסקה אם הוא צמוד לעצמו. האסטרטגיה: גזירת TT* = T*T ממשוואת התנאי, ואז שימוש בערכים עצמיים ממשיים כדי להסיק צמידות עצמית.
מציאת מטריצה S המקיימת S²=A, כאשר A נתונה בצורת בלוק ז'ורדן עם ערך עצמי אי-אפס. מפעילים פיתוח בינומי על λI+J תוך שימוש בחזקות של בלוק הזזה, לרוב בסדר קטן ולכן הטור מסתיים.
הופיע ב-23 שאלות על פני 12 שנים, לאחרונה 2025
200520062007200820132014201520172018201920222025
10
פולינום מינימלי וצורת ז'ורדן של הטלות ושיקופים אורתוגונליים
מציאת הפולינום המינימלי וצורת ז'ורדן של טרנספורמציות הטלה ושיקוף אורתוגונליות ב-ℝ³. מזהים את הערכים העצמיים לפי מבנה הגיאומטרי, קובעים את מרחבי הגרעין והתמונה כתת-מרחבים שמורים, ומסיקים את הפולינום המינימלי ומבנה בלוקי ז'ורדן מתוך כפיות הערכים העצמיים.
הופיע ב-21 שאלות על פני 8 שנים, לאחרונה 2024
20072012201620182020202120232024
11
דרגה, סימנית ואלכסון אורתוגונלי של צורה ריבועית
קביעת דרגה וסימנית של תבנית ריבועית ב-R³ על ידי בניית המטריצה הסימטרית המייצגת ואבחון ערכיה העצמיים. לאחר מכן בודקים קיום אלכסון אורתוגונלי לפי קונגרואנטיות אורתוגונלית תוך השוואת הסימנית לסימנית המטריצה הנתונה.
הופיע ב-25 שאלות על פני 11 שנים, לאחרונה 2024
20062008200920122014201620182019202020232024
12
מציאת צורת ז'ורדן של מטריצה
קביעת הערכים העצמיים מהפולינום האופייני ואימות ריבוי אלגברי וגיאומטרי, לאחר מכן חישוב מימד גרעיני הסדרתי של (A−λI)k לקביעת גודל בלוקי ז'ורדן והרכבתם לצורה הסופית.
הופיע ב-21 שאלות על פני 12 שנים, לאחרונה 2023
200720082011201220132014201520172019202020222023
13
צמודות ואוניטריות של טרנספורמציות השלכה
הוכחה שטרנספורמציה המוגדרת באמצעות השלכות על וקטורים אורתונורמליים היא צמודה לעצמה ו/או אוניטרית. מחשבים את האופרטור הצמוד ישירות מהגדרת המכפלה הפנימית, ומאמתים אוניטריות על ידי הצגת הטרנספורמציה כהרכבת השתקפויות.
הופיע ב-20 שאלות על פני 9 שנים, לאחרונה 2024
200820092011201420152016201820222024
14
אפס צורה ריבועית כתת-מרחב
מציאת קבוצת האפסים של צורה ריבועית והוכחה שהיא תת-מרחב. מאלכסנים את המטריצה הסימטרית, קובעים את הסימנטיות, ומוצאים בסיס על ידי פתרון המערכת הלינארית הנובעת.
הופיע ב-25 שאלות על פני 10 שנים, לאחרונה 2023
2006200820122013201620172018202020212023
15
מרחב הפולינומים של מטריצה
מימד המרחב הנפרש על ידי חזקות מטריצה, והוכחה ש-A⁻¹ שייך למרחב זה. משתמשים בפולינום המינימלי כדי לבסס בסיס למרחב ולהציע את A⁻¹ כצירוף לינארי של חזקות A.
הופיע ב-22 שאלות על פני 12 שנים, לאחרונה 2023
200620072008201220132014201520162017201820222023
16
לכסון בו-זמני של שתי צורות ריבועיות
מציאת מטריצה הפיכה המלכסנת בו-זמנית שתי צורות ריבועיות סימטריות. מלכסנים את A לפי כולסקי או ערכים עצמיים לקבלת יחידה, ואז מלכסנים את B המושמרת באמצעות הערכים העצמיים של המטריצה המשורשרת.
הופיע ב-25 שאלות על פני 12 שנים, לאחרונה 2022
200620072009201120122013201520162017201920202022
17
אלכסון תבניות ריבועיות בשיטת לגרנז'
פירוק תבנית ריבועית לסכום ריבועים בשיטת לגרנז', תוך השלמה לריבוע או החלפת משתנים לטיפול באיברים מעורבים ללא מקדמי ריבוע טהורים. מכאן מוסקים דרגה, סימנית ובסיס שבו המטריצה המייצגת אלכסונית.
הופיע ב-20 שאלות על פני 11 שנים, לאחרונה 2022
20062007200820092011201420152017201820202022
18
מציאת צורת ז'ורדן
קביעת צורת ז'ורדן של מטריצה על ידי חישוב הפולינום האופייני, זיהוי הערכים העצמיים וריבויים, ואז בדיקת דרגות המרחבים העצמיים וחזקות (A−λI) לקביעת גודל הבלוקים.