שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - אוניברסיטת תל אביב 2011 - נגזרות

תהי $f: (0,\infty) \to \mathbb{R}$ פונקציה כך ש-$f'' > 0$ ב-$(0,\infty)$. הוכיחו כי לכל $x > 0$: $$f(2x) - f(x) \leq f(3x) - f(2x)$$

רמז: הפעילו את **משפט הערך הממוצע** על כל אחד מהקטעים $[x,2x]$ ו-$[2x,3x]$, ונצלו את העובדה ש-$f'' > 0$ גורר ש-$f'$ עולה.

פתרון: לפי **משפט הערך הממוצע** על $[x, 2x]$: $f(2x)-f(x) = f'(c_1) \cdot x$ עבור $c_1 \in (x, 2x)$. לפי **משפט הערך הממוצע** על $[2x, 3x]$: $f(3x)-f(2x) = f'(c_2) \cdot x$ עבור $c_2 \in (2x, 3x)$. מכיוון ש-$c_1 < 2x < c_2$ ו-$f'' > 0$ (כלומר $f'$ **עולה ממש**): $$f'(c_1) < f'(c_2)$$ לכן: $$f(2x) - f(x) = f'(c_1) \cdot x < f'(c_2) \cdot x = f(3x) - f(2x) \quad \blacksquare$$