קורס: אינפי 1 / חדו"א 1
אוניברסיטה: אוניברסיטת תל אביב
שנה: 2011
סמסטר: א
נושאים: נגזרות, משפט הערך הממוצע, אי-שוויונות, הוכחה
רמת קושי: בינוני
תהי $f: (0,\infty) \to \mathbb{R}$ פונקציה כך ש-$f'' > 0$ ב-$(0,\infty)$. הוכיחו כי לכל $x > 0$:
$$f(2x) - f(x) \leq f(3x) - f(2x)$$
רמז: הפעילו את **משפט הערך הממוצע** על כל אחד מהקטעים $[x,2x]$ ו-$[2x,3x]$, ונצלו את העובדה ש-$f'' > 0$ גורר ש-$f'$ עולה.
פתרון: לפי **משפט הערך הממוצע** על $[x, 2x]$: $f(2x)-f(x) = f'(c_1) \cdot x$ עבור $c_1 \in (x, 2x)$.
לפי **משפט הערך הממוצע** על $[2x, 3x]$: $f(3x)-f(2x) = f'(c_2) \cdot x$ עבור $c_2 \in (2x, 3x)$.
מכיוון ש-$c_1 < 2x < c_2$ ו-$f'' > 0$ (כלומר $f'$ **עולה ממש**):
$$f'(c_1) < f'(c_2)$$
לכן:
$$f(2x) - f(x) = f'(c_1) \cdot x < f'(c_2) \cdot x = f(3x) - f(2x) \quad \blacksquare$$
תהי f:(0,∞)→R פונקציה כך ש-f′′>0 ב-(0,∞). הוכיחו כי לכל x>0:
f(2x)−f(x)≤f(3x)−f(2x)
אוניברסיטת תל אביבמועד ב12011סמסטר א
נגזרותמשפט הערך הממוצעאי-שוויונותהוכחה
הפעילו את משפט הערך הממוצע על כל אחד מהקטעים [x,2x] ו-[2x,3x], ונצלו את העובדה ש-f′′>0 גורר ש-f′ עולה.
לפי משפט הערך הממוצע על [x,2x]: f(2x)−f(x)=f′(c1)⋅x עבור c1∈(x,2x).
לפי משפט הערך הממוצע על [2x,3x]: f(3x)−f(2x)=f′(c2)⋅x עבור c2∈(2x,3x).
מכיוון ש-c1<2x<c2 ו-f′′>0 (כלומר f′ עולה ממש):
f′(c1)<f′(c2)
לכן:
f(2x)−f(x)=f′(c1)⋅x<f′(c2)⋅x=f(3x)−f(2x)■