שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - אוניברסיטת תל אביב 2024 - גבולות

נסחו את משפט לופיטל בגרסה האינסופית.

רמז: המשפט עוסק בגבול של מנה $\frac{f(x)}{g(x)}$ כאשר $f(x) \to \pm\infty$ ו-$g(x) \to \pm\infty$.

פתרון: **משפט לופיטל (גרסה אינסופית):** תהיינה $f, g$ פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של $a$ (כאשר $a$ יכול להיות ממשי או $\pm\infty$). נניח: 1. $\lim_{x \to a} |f(x)| = \infty$ ו-$\lim_{x \to a} |g(x)| = \infty$. 2. $g'(x) \neq 0$ בסביבה מנוקבת של $a$. 3. קיים הגבול $\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ (כאשר $L$ ממשי או $\pm\infty$). אז: $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L$$