שאלת מבחן בסטטיסטיקה לפסיכולוגיה א׳ - אוניברסיטת תל אביב 2024 - קומבינטוריקה

לשם הרכבת קבוצת כדורסל על המאמן לבחור 5 שחקנים מתוך 12 מועמדים אפשריים. בקבוצה חייבים להיות לפחות 2 שחקנים בתפקיד שומרים, וידוע כי 5 מבין המועמדים משחקים בתפקיד שומרים. הבהרה שניתנה במהלך המבחן: שומרים בהכרח משחקים בתפקיד שומרים ולא בתפקיד אחר. כמה דרכים שונות קיימות ליצירת הקבוצה? א. 54 ב. 350 ג. 596 ד. 617 ה. 736 ו. 1601

רמז: חלקו למקרות לפי מספר השומרים המדויק שנבחרים (2, 3, 4 או 5), ובכל מקרה השתמשו ב**כלל הכפל** בין בחירת השומרים לבחירת השאר.

פתרון: נסמן: 5 **שומרים** ו-7 **שחקנים אחרים** (סה״כ 12 מועמדים). יש לבחור 5 שחקנים עם **לפחות 2 שומרים**. נחלק ל**מקרים לפי מספר השומרים שנבחרים**: **מקרה 1: בדיוק 2 שומרים** $$\binom{5}{2}\cdot\binom{7}{3} = 10 \cdot 35 = 350$$ **מקרה 2: בדיוק 3 שומרים** $$\binom{5}{3}\cdot\binom{7}{2} = 10 \cdot 21 = 210$$ **מקרה 3: בדיוק 4 שומרים** $$\binom{5}{4}\cdot\binom{7}{1} = 5 \cdot 7 = 35$$ **מקרה 4: בדיוק 5 שומרים** $$\binom{5}{5}\cdot\binom{7}{0} = 1 \cdot 1 = 1$$ **סך הדרכים** (המקרים זרים זה לזה לפי **כלל הסכום**): $$350 + 210 + 35 + 1 = \boxed{596}$$ התשובה הנכונה היא **ג. 596**. $\blacksquare$