שאלת מבחן בסטטיסטיקה לפסיכולוגיה א׳ - אוניברסיטת תל אביב 2024 - קומבינטוריקה

לשם הרכבת קבוצת כדורסל על המאמן לבחור 5 שחקנים מתוך 12 מועמדים אפשריים. בקבוצה חייבים להיות לפחות 2 שחקנים בתפקיד שומרים, וידוע כי 5 מבין המועמדים משחקים בתפקיד שומרים. הבהרה שניתנה במהלך המבחן: שומרים בהכרח משחקים בתפקיד שומרים ולא בתפקיד אחר. כמה דרכים שונות קיימות ליצירת הקבוצה? א. 54 ב. 350 ג. 596 ד. 617 ה. 736 ו. 1601

רמז: חלקו למקרים: בדיוק 2, 3, 4 או 5 שומרים. עבור $k$ שומרים: $\binom{5}{k} \cdot \binom{7}{5-k}$.

פתרון: 5 שומרים, 7 לא-שומרים. צריך לפחות 2 שומרים מתוך 5 שחקנים. **$k=2$:** $\binom{5}{2} \binom{7}{3} = 10 \cdot 35 = 350$ **$k=3$:** $\binom{5}{3} \binom{7}{2} = 10 \cdot 21 = 210$ **$k=4$:** $\binom{5}{4} \binom{7}{1} = 5 \cdot 7 = 35$ **$k=5$:** $\binom{5}{5} \binom{7}{0} = 1$ **סה"כ:** $350 + 210 + 35 + 1 = 596$. התשובה: **ג** ($596$).