שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - קבוצות

תהיינה $A$ ו-$B$ קבוצות חסומות של מספרים ממשיים שאינן מכילות את $0$. נסמן $C=\left\{\dfrac{a}{b}\,\middle|\,a\in A,\,b\in B\right\}$. אזי: א. $\sup C=\dfrac{\sup A}{\sup B}$ ב. $\sup C=\dfrac{\sup A}{\inf B}$ ג. $C$ אינה בהכרח חסומה. ד. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.

רמז: נסו למצוא דוגמה שבה $C$ אינה חסומה: בחרו $B$ עם איברים השואפים ל-$0$.

פתרון: **הטענה הנכונה היא ג.** **דוגמה נגדית לחסימות $C$:** $A=\{1\}$, $B=\{\frac{1}{n}\mid n\geq 1\}$. - $A$ חסומה ו-$0\notin A$. ✓ - $B\subseteq(0,1]$ חסומה, ו-$0\notin B$ (האיברים $\frac{1}{n}>0$). ✓ - $C=\{\frac{1}{1/n}\mid n\geq 1\}=\{n\mid n\geq 1\}=\mathbb{N}$, שאינה חסומה. ✗ לכן $C$ אינה בהכרח חסומה. טענות א ו-ב גם שגויות: כיוון ש-$B$ יכולה לכלול מספרים שליליים (למשל $A=\{1\}$, $B=\{-1,1\}$: $\sup B=1$, $\inf B=-1$, $C=\{-1,1\}$, $\sup C=1\neq\frac{1}{1}=1$... לא דוגמה טובה). בכל אופן, ג נכונה. **התשובה הנכונה: ג.**