שאלת מבחן בסטטיסטיקה לפסיכולוגיה א׳ - אוניברסיטת תל אביב 2023 - רווח סמך

רובין רצה לאמוד את תוחלת ההכנסה השנתית של משפחות בבריטניה. הוא דגם מדגם, חישב את הממוצע, ובנה רווח סמך ברמת ביטחון של 98%. מה מהבאים נכון? א. יש סיכוי של 98% ש-$\bar{X} = \mu$ ב. יש סיכוי של 2% ש-$\mu$ לא נמצאת ברווח הסמך שרובין בנה ג. אם רובין היה דוגם אינסוף מדגמים, 98% מרווחי הסמך שהיה בונה היו כוללים את $\mu$ ד. אם רובין היה דוגם אינסוף מדגמים, 2% מרווחי הסמך שהיה מחשב לא היו כוללים את $\bar{X}$

רמז: חשבו על ההגדרה התדירותית (frequentist) של רווח סמך: ה-98% מתאר את **הנוהל** של בניית רווחים, לא את הרווח הספציפי שנבנה. שאלו את עצמכם — מה קבוע ומה משתנה מקרי?

פתרון: התשובה הנכונה היא **ג**. נסביר את הפרשנות הנכונה של **רווח סמך** ונבחן כל אפשרות: --- **אפשרות א — שגויה:** הטענה שיש סיכוי של 98% ש-$\bar{X} = \mu$ שגויה לחלוטין. $\bar{X}$ הוא **אומדן** של $\mu$, אך כמעט בוודאות $\bar{X} \neq \mu$. רווח סמך אינו אומר דבר על השוויון המדויק בין הממוצע לתוחלת. --- **אפשרות ב — שגויה (טעות קלאסית!):** זוהי **אחת הטעויות הנפוצות ביותר** בפרשנות רווחי סמך. לאחר שרובין בנה רווח סמך ספציפי, $\mu$ היא **פרמטר קבוע** (לא משתנה מקרי) — היא או נמצאת ברווח, או לא. אין כבר הסתברות של 2% "שהיא לא שם". ה-98% מתאר את **הנוהל** לאורך זמן, לא את הרווח הספציפי שנבנה. --- **אפשרות ג — נכונה ✓** זוהי **הפרשנות התדירותית הנכונה** של רווח סמך ברמת ביטחון $1-\alpha$: $$P\left(\bar{X} - z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 0.98$$ משמעות: אם נחזור על **הנוהל** של דגימה ובניית הרווח אינסוף פעמים, **98% מהרווחים שנבנה יכילו את $\mu$**. --- **אפשרות ד — שגויה:** הטענה מבלבלת בין $\mu$ ל-$\bar{X}$. $\bar{X}$ הוא **תמיד מרכז הרווח הסמך** (ברווח סמך סימטרי), כלומר הוא תמיד כלול בתוך הרווח — ב-100% מהמקרים, לא 98%. --- **סיכום:** רווח סמך הוא תכונה של **הנוהל** ולא של רווח בודד. ג' מביעה בדיוק זאת — 98% מהרווחים שייבנו בדגימות חוזרות יכילו את $\mu$. $\blacksquare$