שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - הטכניון 2017 - גבולות

א. (10%) נתון כי $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ וגזירה רק בנקודה $-1$ ומתקיים $f'(-1) = -2$. מהו $$\lim_{x\to 0} \frac{f(-1+2x) - f(-1-3x)}{4x}$$ ב. (10%) $$\lim_{n\to\infty} \frac{n^n \cos(\pi n)}{(n+1)^{n+1}(n+3)}$$

רמז: א. כתבו $f(-1+2x)-f(-1-3x) = [f(-1+2x)-f(-1)] - [f(-1-3x)-f(-1)]$ וטפלו בכל גבול בנפרד תוך שימוש בהגדרת הנגזרת. ב. שימו לב ש-$\cos(\pi n)=(-1)^n$ וחסמו את הערך המוחלט על ידי פירוק $\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$.

פתרון: **א.** נכתוב את הביטוי כהפרש שני גבולות: $$\frac{f(-1+2x) - f(-1-3x)}{4x} = \frac{f(-1+2x)-f(-1)}{4x} - \frac{f(-1-3x)-f(-1)}{4x}$$ **גבול ראשון:** נציב $h = 2x$ (כך ש-$h\to 0$ כאשר $x\to 0$): $$\lim_{x\to 0}\frac{f(-1+2x)-f(-1)}{4x} = \lim_{h\to 0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{2h} = \frac{1}{2}f'(-1) = \frac{1}{2}\cdot(-2) = -1$$ **גבול שני:** נציב $h = -3x$ (כך ש-$x = -h/3$ ו-$h\to 0$ כאשר $x\to 0$): $$\lim_{x\to 0}\frac{f(-1-3x)-f(-1)}{4x} = \lim_{h\to 0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{4\cdot(-h/3)} = -\frac{3}{4}f'(-1) = -\frac{3}{4}\cdot(-2) = \frac{3}{2}$$ לכן הגבול המבוקש הוא: $$\lim_{x\to 0} \frac{f(-1+2x) - f(-1-3x)}{4x} = -1 - \frac{3}{2} = \boxed{-\frac{5}{2}}$$ $\blacksquare$ --- **ב.** נשים לב ש-$\cos(\pi n) = (-1)^n$, ולכן: $$\frac{n^n \cos(\pi n)}{(n+1)^{n+1}(n+3)} = \frac{(-1)^n \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}(n+3)}$$ נחסום את הערך המוחלט. שימו לב כי: $$\left|\frac{(-1)^n \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}(n+3)}\right| = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}(n+3)} = \frac{1}{n+1}\cdot\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\cdot\frac{1}{n+3}$$ מכיוון ש-$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n > 1$ לכל $n\geq 1$, מתקיים: $$0 \leq \left|\frac{(-1)^n \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}(n+3)}\right| < \frac{1}{(n+1)(n+3)} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$$ לפי **כלל הסנדוויץ'**: $$\lim_{n\to\infty} \frac{n^n \cos(\pi n)}{(n+1)^{n+1}(n+3)} = \boxed{0}$$ $\blacksquare$