שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2015 - גזירות

יהי $I$ קטע פתוח כלשהו ותהי $g: I \to \mathbb{R}$ פונקציה רציפה בנקודה $x_0 \in I$. הוכיחו שהפונקציה $f(x) = (x - x_0)g(x)$ גזירה בנקודה $x_0$.

רמז: חשבו את הנגזרת מההגדרה: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$, שימו לב ש-$f(x_0) = 0$ והביטוי מצטמצם ל-$g(x)$.

פתרון: נחשב את הנגזרת מההגדרה. נשים לב ש-$f(x_0) = (x_0 - x_0)g(x_0) = 0$. $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{(x - x_0)g(x) - 0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} g(x)$$ מכיוון ש-$g$ **רציפה** בנקודה $x_0$, מתקיים $\lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0)$. לכן הגבול קיים (וסופי), ומכאן ש-$f$ גזירה ב-$x_0$ ומתקיים $f'(x_0) = g(x_0)$. $\blacksquare$