שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2020 - סדרות

תהי $(a_n)$ סדרה הנתונה ע"י $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + \dfrac{(-1)^n}{n+1}$, כאשר $x_n = a_{2n-1} \to L_x$ ו-$y_n = a_{2n} \to L_y$. הוכיחו כי הסדרה $(a_n)$ מתכנסת.

רמז: הוכיחו ש-$x_n - y_n \to 0$, ומסיקו ש-$L_x = L_y$. לאחר מכן, כל אינדקס הוא אי-זוגי או זוגי.

פתרון: **שתי תת-הסדרות מתכנסות לאותו גבול:** $$x_n - y_n = a_{2n-1} - a_{2n} = a_{2n-1} - \left(a_{2n-1} - \frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2n} \to 0$$ לכן $L_x = \lim x_n = \lim y_n = L_y =: L$. **כל $a_n$ שייך לאחת מהתת-סדרות:** - עבור $n$ אי-זוגי: $a_n = a_{2k-1} = x_k \to L$. - עבור $n$ זוגי: $a_n = a_{2k} = y_k \to L$. שתי תת-הסדרות $(a_{2k-1})$ ו-$(a_{2k})$ מכסות את כל האינדקסים ושתיהן מתכנסות ל-$L$. לכן $a_n \to L$. $\blacksquare$