שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2021 - נגזרות

קבעו עבור אלו ערכים של $a$ לפונקציה $f(x) = ax^3 + 4ax^2 + 8x$ יש שתי נקודות קיצון מקומיות.

רמז: חשבו את $f'(x) = 3ax^2 + 8ax + 8$ ודרשו ששני שורשים ממשיים שונים יהיו לנגזרת, כלומר הדיסקרימיננטה חיובית. בדקו גם ש-$a \neq 0$.

פתרון: הנגזרת: $$f'(x) = 3ax^2 + 8ax + 8$$ לפונקציה יש שתי נקודות קיצון מקומיות אם ורק אם ל-$f'(x) = 0$ יש **שני פתרונות ממשיים שונים**, ו-$f'$ מחליפה סימן בכל אחד מהם. אם $a = 0$: $f'(x) = 8 \neq 0$ תמיד, אין נקודות קיצון. אם $a \neq 0$: $f'(x) = 3ax^2 + 8ax + 8$ היא פרבולה. הדיסקרימיננטה: $$\Delta = (8a)^2 - 4 \cdot 3a \cdot 8 = 64a^2 - 96a = 32a(2a - 3)$$ נדרוש $\Delta > 0$: $$32a(2a - 3) > 0$$ זה מתקיים כאשר: - $a > 0$ וגם $2a - 3 > 0$, כלומר $a > \frac{3}{2}$ - $a < 0$ וגם $2a - 3 < 0$, כלומר $a < 0$ מאחר שפולינום ממעלה 2 עם שני שורשים ממשיים שונים מחליף סימן בכל שורש (כי $a \neq 0$), אכן יש שתי נקודות קיצון מקומיות. לכן: $a < 0$ או $a > \frac{3}{2}$.