שאלת מבחן במתמטיקה בדידה - האוניברסיטה העברית 2012 - פונקציות

תהיינה $A, B, C$ קבוצות, $f : A \to B$, $g : B \to c$ פונקציות. לכל אחד מהם הקיפו בעיגול "נכון" אם הוא מבטיח ש-$f$ היא על ו"לא נכון" אם אינינו מבטיח בהכרח ש-$f$ היא על (תשובה נכונה = 2 נקודות, תשובה שגוייה = מינוס נקודה, חוסר תשובה = 0 נקודות). (א) $g \circ f$ על ו-$g$ חח"ע. (נכון / לא נכון)

רמז: אם $g \circ f$ על, לכל $c \in C$ יש $a$ עם $g(f(a))=c$. חח"ע של $g$ מאפשרת "לבטל" את $g$ ולהסיק ש-$f$ על.

פתרון: **נכון.** נניח $g \circ f$ על ו-$g$ חח"ע. יהי $b \in B$. אז $g(b) \in C$. כיוון ש-$g \circ f$ על, קיים $a \in A$ כך ש-$g(f(a)) = g(b)$. כיוון ש-$g$ **חח"ע**, נובע $f(a) = b$. מצאנו $a$ כך ש-$f(a) = b$, לכן $f$ על. $\blacksquare$