שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2017 - רציפות במידה שווה

תהי $f$ פונקציה רציפה במידה שווה בקטע $I$ ומונוטונית ב-$I$. הוכח או הפרך: $f^2$ רציפה במידה שווה ב-$I$.

רמז: כתבו $f^2(x) - f^2(y) = (f(x)-f(y))(f(x)+f(y))$. מהמונוטוניות ניתן לחסום את $|f(x)+f(y)|$ בסביבה מסוימת? בדקו אם $f$ חסומה.

פתרון: הטענה **נכונה**. מאחר ש-$f$ רציפה במ"ש על $I$ ומונוטונית, $f$ חסומה על $I$ (פונקציה מונוטונית רציפה במ"ש על קטע חסומה — ניתן להרחיבה לקצוות). יהי $M > 0$ כך ש-$|f(x)| \leq M$ לכל $x \in I$. עבור כל $x, y \in I$: $$|f^2(x) - f^2(y)| = |f(x)-f(y)| \cdot |f(x)+f(y)| \leq |f(x)-f(y)| \cdot 2M$$ יהי $\varepsilon > 0$. מרציפות $f$ במ"ש, קיים $\delta > 0$ כך שלכל $x, y \in I$ עם $|x-y| < \delta$: $|f(x)-f(y)| < \frac{\varepsilon}{2M}$. לכן: $$|f^2(x) - f^2(y)| < \frac{\varepsilon}{2M} \cdot 2M = \varepsilon$$ לכן $f^2$ רציפה במ"ש ב-$I$. $\blacksquare$