שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - הטכניון 2020 - גבולות

אם $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1} = 2$ אז א. $\lim_{x\to 1}f(x) = 1$ ב. יש סביבה שמאלית מנוקבת של $1$ בה $f(x) > 0$ ג. $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2-1} = 1$ ד. $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{tg(x-1)} = 3$

רמז: מהעובדה ש-$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=2$ ניתן להסיק ש-$\lim_{x\to 1}f(x)=0$, ולבחינת כל אפשרות כדאי לנסות לכתוב את המכנה כמכפלה הכוללת $(x-1)$.

פתרון: נתון: $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1} = 2$. **תחילה, מסקנה חיונית:** מכיוון שהגבול קיים וסופי ו-$(x-1)\to 0$, חייב להתקיים $\lim_{x\to 1}f(x)=0$. --- **בדיקת א:** הטענה $\lim_{x\to 1}f(x)=1$ — **שגויה**. הוכחנו ש-$\lim_{x\to 1}f(x)=0$. --- **בדיקת ב:** הטענה: קיימת סביבה שמאלית מנוקבת של $1$ שבה $f(x)>0$ — **שגויה**. מכיוון ש-$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=2>0$, **משפט שימור הסימן** מבטיח שבסביבה מנוקבת מסוימת של $1$ מתקיים $\frac{f(x)}{x-1}>0$. בסביבה **שמאלית** מנוקבת: $x-1<0$, ולכן $\frac{f(x)}{x-1}>0$ גורר $f(x)<0$. כלומר, דווקא $f(x)<0$ שם. --- **בדיקת ג:** הטענה $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2-1}=1$ — **נכונה**. מפצלים: $$\frac{f(x)}{x^2-1} = \frac{f(x)}{(x-1)(x+1)} = \frac{f(x)}{x-1}\cdot\frac{1}{x+1}$$ לכן: $$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2-1} = \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}\cdot\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1 \checkmark$$ --- **בדיקת ד:** הטענה $\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{\tan(x-1)}=3$ — **שגויה**. נציב $u=x-1\to 0$: $$\frac{f(x)}{\tan(x-1)} = \frac{f(1+u)}{u}\cdot\frac{u}{\tan u}$$ מכיוון ש-$\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1$: $$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{\tan(x-1)} = 2\cdot 1 = 2 \neq 3$$ --- **התשובה הנכונה היא ג בלבד.** $\blacksquare$