שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2016 - קוואזי-סטטיקה

התקן בנוי משני לוחות מוליכים מושלמים ($\sigma\to\infty$) ב-$x=0$ וב-$x=d$, אינסופי בכיוון $y$; המרווח דק ($d\ll l$). בקצוות $z=\pm l$ מחוברים מקורות זרם בפאזה זהה, המזרימים זרם בכיוון $+\hat x$ בצפיפות משטחית $K_0$ (יחידות A/m), מפולגים אחיד לאורך $y$. בתוך ההתקן $\sigma,\epsilon,\mu_0$ עם $\sigma\ll\omega\epsilon$, ושדות אפס מחוצה לו. נמצא כי המשטר אלקטרו-קווזי-סטטי. **א.** מה כיווני השדה החשמלי והמגנטי? הוכיחו במשוואות מתאימות. **ב.** מהם התנאים למשטר קווזי-סטטי? מדוע המשטר EQS ולא MQS? **ג.** מה השדה המגנטי בהתקן? **ד.** מה השדה החשמלי בקירוב מסדר אפס? **ה.** מה התיקון הראשון לשדה החשמלי? (ניתן להניח התאפסות בקצוות $z=\pm l$.) הראו שהוא קטן משמעותית מסדר אפס. **ו.** הוכיחו את נכונות קביעת סוג המשטר הקווזי-סטטי. **ז. (בונוס)** מהו אימפדנס הכניסה $Z=\dfrac{S_T}{\tfrac12|I_T|^2}$ (כאשר $S_T$ סך ההספק הנכנס ברוחב $W$, ו-$I_T=2K_0W$), ומהו המעגל השקול (כולל ערכי הרכיבים)?

רמז: $d\ll l$ ⇒ $\partial_x=0$; לוחות מושלמים ⇒ $\vec E=E_x\hat x$, ומקורות הזרם ⇒ $\vec H=H_y\hat y$. EQS (אין לולאת זרם). $\vec H^{(1)}=K_0z/l$ מחוק אמפר עם $H_y(\pm l)=\pm K_0$, $E_x^{(0)}=-K_0/[l(\sigma+j\omega\epsilon)]$; התיקון $\sim(l/\lambda)^2\ll1$. $Z_{in}$ מוביל למקביל $R\parallel C$ התואם את הגיאומטריה.

פתרון: **א.** מ-$d\ll l$ נניח $\partial/\partial x=0$. השדה המשיקי מתאפס על הלוחות: $\hat x\times(0-\vec E_{in})=0\Rightarrow E_y=E_z=0$, ולכן $\vec E=E_x\hat x$. לשדה המגנטי, מתנאי הזרם המשטחי $\hat x\times(0-\vec H_{in})=\pm\vec J_s\hat z$ נובע $H_z=0$, $H_x=0$, ולכן $\vec H=H_y\hat y$. **ב.** $l\ll\lambda$, $\lambda=\dfrac{1}{f\sqrt{\epsilon\mu}}$. המשטר EQS ולא MQS כי כיוון מקורות הזרם אינו סוגר לולאת זרם (בתדר DC אין מסלול סגור). **ג-ד.** מ-$\nabla\times\vec H=(\sigma+j\omega\epsilon)\vec E$: $-\dfrac{\partial H_y}{\partial z}=(\sigma+j\omega\epsilon)E_x$, ומתנאי השפה $H_y(z=\pm l)=\pm K_0$: $$H_y^{(1)}=\dfrac{K_0z}{l},\qquad E_x^{(0)}=-\dfrac{K_0}{l(\sigma+j\omega\epsilon)}$$ **ה.** מ-$\nabla\times\vec E^{(1)}=-j\omega\mu\vec H^{(1)}$: $\dfrac{\partial E_x^{(1)}}{\partial z}=-j\omega\mu\dfrac{K_0z}{l}$, ועם התאפסות ב-$z=\pm l$: $$E_x^{(1)}=j\omega\mu\dfrac{K_0}{2}\!\left(l-\dfrac{z^2}{l}\right)$$ היחס $\left|\dfrac{E_x^{(1)}}{E_x^{(0)}}\right|\lesssim\dfrac{\omega^2\mu\epsilon l^2}{2}=\dfrac{(2\pi)^2}{2}\!\left(\dfrac{l}{\lambda}\right)^2\ll1$ (מנוצל $\sigma\ll\omega\epsilon$). **ו.** $\dfrac{\langle w_m\rangle}{\langle w_e\rangle}=\dfrac{\mu|H_y|^2}{\epsilon|E_x|^2}\lesssim\omega^2\mu\epsilon l^2\ll1$ — האנרגיה החשמלית דומיננטית, ולכן המשטר EQS. **ז.** $\vec S=\tfrac12\vec E\times\vec H^*$; ההספק הנכנס בשני הקצוות $S_T=\dfrac{|K_0|^2}{l(\sigma+j\omega\epsilon)}Wd$. עם $I_T=2K_0W$: $$Z_{in}=\dfrac{S_T}{\tfrac12|I_T|^2}=\dfrac{d}{2lW(\sigma+j\omega\epsilon)},\qquad Y_{in}=\dfrac{2lW}{d}\sigma+j\omega\dfrac{\epsilon\,2lW}{d}$$ כלומר **נגד במקביל לקבל**: $R=\dfrac{1}{\sigma}\dfrac{d}{2lW}$, $C=\dfrac{\epsilon\,2lW}{d}$ (תואם לגיאומטריית ההתקן). $\blacksquare$