שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2022 - גבולות

חשבו את הגבולות הבאים. הוכיחו תשובתכם. א. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x}{2 + \sin\!\left(\frac{1}{x^2}\right)}$ ב. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right) \ln(x)$ ג. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x e^{3x} - x e^{-x}}$

רמז: בסעיף א' השתמשו בכלל הסנדוויץ' ובחסימות של $\sin$. בסעיף ב' כפלו וחלקו בצמוד $\sqrt{x^2+1}+x$. בסעיף ג' השתמשו בזהות $1-\cos^2 x = \sin^2 x$ ובקירובים $\sin x \approx x$ ו-$e^{ax} \approx 1+ax$ סביב $0$.

פתרון: **סעיף א.** מתקיים $-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x^2}\right) \le 1$ לכל $x \ne 0$, ולכן $1 \le 2 + \sin\!\left(\frac{1}{x^2}\right) \le 3$. מכאן עבור $x > 0$: $$\frac{x}{3} \le \frac{x}{2 + \sin\!\left(\frac{1}{x^2}\right)} \le \frac{x}{1} = x$$ ועבור $x < 0$: $$x \le \frac{x}{2 + \sin\!\left(\frac{1}{x^2}\right)} \le \frac{x}{3}$$ בשני המקרים, לפי **כלל הסנדוויץ'**, כיוון ש-$\lim_{x \to 0} x = 0$ ו-$\lim_{x \to 0} \frac{x}{3} = 0$, נקבל: $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{2 + \sin\!\left(\frac{1}{x^2}\right)} = 0$$ **סעיף ב.** נכפול ונחלק בצמוד: $$\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\ln(x) = \frac{(x^2+1) - x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} \cdot \ln(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x^2+1} + x}$$ כאשר $x \to \infty$, $\sqrt{x^2+1} + x \sim 2x$, ולכן: $$\frac{\ln(x)}{\sqrt{x^2+1} + x} \sim \frac{\ln(x)}{2x} \xrightarrow{x \to \infty} 0$$ (כי $\ln(x)$ גדל לאט יותר מ-$x$, למשל ע"י כלל לופיטל: $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{2x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{2} = 0$). לכן $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\ln(x) = 0$. **סעיף ג.** נשתמש בזהות $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $$\frac{1 - \cos^2 x}{x e^{3x} - x e^{-x}} = \frac{\sin^2 x}{x(e^{3x} - e^{-x})}$$ נפרק: $$= \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{x}{e^{3x} - e^{-x}}$$ ידוע ש-$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, ולכן $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = 1$. עבור הגורם השני, נשתמש ב-**לופיטל** (או בקירוב $e^{ax} \approx 1 + ax$): $$e^{3x} - e^{-x} \approx (1+3x) - (1-x) = 4x$$ לכן $\frac{x}{e^{3x} - e^{-x}} \to \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$. סה"כ: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x e^{3x} - x e^{-x}} = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$