שאלת מבחן במתמטיקה בדידה - אוניברסיטת תל אביב 2014 - עוצמות

נגדיר שתי עוצמות: $a = |(\mathbb{R} \to \mathbb{R}) \to (\mathbb{R} \to \mathbb{R})|$ ו-$b = |\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))|$. חשבו את שתי העוצמות, והכריעו בין שלוש האפשרויות: א. $a > b$ ב. $a = b$ ג. $a < b$

רמז: חשבו כל עוצמה בנפרד תוך שימוש בחוקי אריתמטיקת עוצמות. זכרו ש-$|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$.

פתרון: נחשב את $a$: $$a = |(\mathbb{R} \to \mathbb{R}) \to (\mathbb{R} \to \mathbb{R})| = |\mathbb{R} \to \mathbb{R}|^{|\mathbb{R} \to \mathbb{R}|}$$ מתקיים $|\mathbb{R} \to \mathbb{R}| = |\mathbb{R}|^{|\mathbb{R}|} = \aleph^\aleph$. נחשב: $(\aleph^\aleph)^{(\aleph^\aleph)}$. ראשית, $\aleph^\aleph = (2^{\aleph_0})^{\aleph} = 2^{\aleph_0 \cdot \aleph} = 2^\aleph$. לכן: $$a = (2^\aleph)^{2^\aleph}$$ כעת, $2^\aleph \cdot 2^\aleph = 2^{\aleph + \aleph} = 2^\aleph$, ולכן: $$a = (2^\aleph)^{2^\aleph} = 2^{\aleph \cdot 2^\aleph} = 2^{2^\aleph}$$ בנוסף: $$b = |\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))| = 2^{|\mathcal{P}(\mathbb{R})|} = 2^{2^{|\mathbb{R}|}} = 2^{2^\aleph}$$ לכן **העוצמות שוות** והתשובה היא **ב**. $\blacksquare$