שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2025 - פונקציות

תהיינה $f(x),g(x)$ פונקציות חסומות מלעיל בקטע $I$, ו-$c\in\mathbb{R}$. 1. $c\cdot f(x)$ חסומה מלעיל ב-$I$. 2. $f(x)+g(x)$ חסומה מלעיל ב-$I$. 3. $f(x)\cdot g(x)$ חסומה מלעיל ב-$I$. הטענות הנכונות הן: א. 1. ב. 2. ג. 3. ד. 1,2. ה. 1,3. ו. 2,3. ז. 1,2,3. ח. אף טענה אינה נכונה.

רמז: עבור טענות 1 ו-3 חשבו על $c<0$ ועל מכפלת שתי פונקציות שליליות חסומות מלמטה אך לא מלעיל.

פתרון: **הטענה הנכונה: ב (טענה 2 בלבד).** **טענה 1 — שגויה:** אם $c<0$ ו-$f$ חסומה מלעיל ($f(x)\leq M$), אז $c\cdot f(x)\geq c\cdot M$, כלומר $c\cdot f$ חסומה **מלמטה** ולא בהכרח מלעיל. דוגמה: $f(x)=1$ על $I=(0,\infty)$ חסומה מלעיל, אך $c=-1$ נותן $c\cdot f=-1$ — בסדר. אם $f$ חסומה רק מלעיל ולא מלמטה, ו-$c=-1$: קחו $f(x)=-x$ על $(0,\infty)$, חסומה מלעיל (ע"י 0), אבל $(-1)\cdot(-x)=x$ אינה חסומה מלעיל. \textbf{שגויה.} **טענה 2 — נכונה:** אם $f(x)\leq M_1$ ו-$g(x)\leq M_2$, אז $f(x)+g(x)\leq M_1+M_2$. \textbf{נכונה.} **טענה 3 — שגויה:** קחו $f(x)=g(x)=-x$ על $(0,\infty)$. כל אחת חסומה מלעיל (על-ידי 0), אך $f(x)\cdot g(x)=x^2$ אינה חסומה מלעיל. \textbf{שגויה.} התשובה הנכונה: **ב**.