שאלת מבחן במתמטיקה בדידה - אוניברסיטת תל אביב 2025 - עוצמות

תהיינה $A, B, C$ קבוצות לא ריקות. תהי $$H \in ((A \to B) \times (A \to C)) \to (A \to (B \times C))$$ פונקציה שמוגדרת כך: $$H = \lambda\langle f, g\rangle \in (A \to B) \times (A \to C).\; \lambda a \in A.\langle f(a), g(a)\rangle$$ קיומה של $H$ כפונקציית זיווג מוכיח טענה בחשבון עוצמות שראינו בכיתה. הקיפו את הטענה שקיומה של $H$ מוכיח. (I) לכל שלוש עוצמות $a, b, c$ מתקיים: $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$. (II) לכל שלוש עוצמות $a, b, c$ מתקיים: $(a^b) \cdot (a^c) = a^{b+c}$. (III) לכל שלוש עוצמות $a, b, c$ מתקיים: $(b^a) \cdot (c^a) = (b \cdot c)^a$.

רמז: בדקו מהן העוצמות של התחום והטווח של $H$. $H$ מראה זיווג בין $(A \to B) \times (A \to C)$ לבין $A \to (B \times C)$. מה זה אומר בשפת עוצמות?

פתרון: $H$ היא זיווג בין $(A \to B) \times (A \to C)$ לבין $A \to (B \times C)$. נסמן $|A| = a$, $|B| = b$, $|C| = c$. $|A \to B| = b^a$, $|A \to C| = c^a$. $|(A \to B) \times (A \to C)| = b^a \cdot c^a$. $|A \to (B \times C)| = (b \cdot c)^a$. הזיווג מוכיח ש-$b^a \cdot c^a = (b \cdot c)^a$. **התשובה: (III)** לכל שלוש עוצמות $a, b, c$ מתקיים: $(b^a) \cdot (c^a) = (b \cdot c)^a$.