שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - הטכניון 2020 - גבולות

סמנו נכון\לא נכון ליד כל סעיף א. לכל $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ולכל $L\in\mathbb{R}$ מתקיים כי: $\lim_{x\to 0}f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x\to 0}f(x^3) = L$ נכון \ לא נכון ב. לכל $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ולכל $L\in\mathbb{R}$, אם לכל $\delta>0$ מתקיים שכאשר $0<|x-a|<\delta$ אז $|f(x)-L|<\delta^2$, אז $\lim_{x\to a}f(x)=L$ נכון \ לא נכון ג. אם $\lim_{x\to 0}g(x) = 0$ וגם $\lim_{x\to 1}g(f(x)) = 0$, אז בהכרח $\lim_{x\to 1}f(x) = 0$ נכון \ לא נכון ד. אם $\lim_{x\to a}f(x)$ קיים (וסופי), וגם $\lim_{x\to a}\big(3f(x)-2g(x)\big)$ קיים (וסופי), אז $\lim_{x\to a}g(x)$ קיים (וסופי) נכון \ לא נכון

רמז: בסעיף א, שימו לב שהפונקציה $x\mapsto x^3$ היא חח"ע ושומרת על "מרחק מ-0" בצורה נשלטת. בסעיפים ב ו-ד, נסו לבחור $\delta$ מתאים (ב-ב) או להשתמש בחוקי האריתמטיקה של גבולות (ב-ד). בסעיף ג, חשבו על פונקציה $g$ שמאפסת הכל.

פתרון: **א. נכון** **כיוון $\Rightarrow$:** נניח $\lim_{x\to 0}f(x)=L$. יהי $\varepsilon>0$, קיים $\delta>0$ כך שאם $0<|x|<\delta$ אז $|f(x)-L|<\varepsilon$. כעת לכל $x$ המקיים $0<|x|<\delta^{1/3}$ מתקיים $0<|x^3|<\delta$, לכן $|f(x^3)-L|<\varepsilon$. $\checkmark$ **כיוון $\Leftarrow$:** נניח $\lim_{x\to 0}f(x^3)=L$. יהי $\varepsilon>0$, קיים $\delta>0$ כך שאם $0<|t|<\delta$ אז $|f(t^3)-L|<\varepsilon$. לכל $x$ המקיים $0<|x|<\delta^3$ נציב $t=x^{1/3}$ (שורש שלישי ממשי), מקבלים $0<|t|<\delta$ ולכן $|f(x)-L|=|f(t^3)-L|<\varepsilon$. $\checkmark$ שני הכיוונים נכונים משום שהפונקציה $x\mapsto x^3$ היא **חח"ע ועל** מסביבה מנוקבת של $0$ לסביבה מנוקבת של $0$. $\blacksquare$ --- **ב. נכון** יהי $\varepsilon>0$. בחר $\delta=\sqrt{\varepsilon}$. לפי התנאי הנתון, לכל $x$ המקיים $0<|x-a|<\delta$ מתקיים: $$|f(x)-L|<\delta^2=(\sqrt{\varepsilon})^2=\varepsilon.$$ זוהי בדיוק **הגדרת הגבול** $\lim_{x\to a}f(x)=L$. $\blacksquare$ --- **ג. לא נכון** **דוגמה נגדית:** הגדר $g(x)=0$ לכל $x\in\mathbb{R}$, ו-$f(x)=5$ לכל $x$. - $\lim_{x\to 0}g(x)=0$ ✓ - $\lim_{x\to 1}g(f(x))=\lim_{x\to 1}g(5)=\lim_{x\to 1}0=0$ ✓ - אך $\lim_{x\to 1}f(x)=5\neq 0$. הטעות האינטואיטיבית: **כלל ההרכבה** אומר שאם $\lim_{x\to 1}f(x)=0$ **וגם** $g$ רציפה ב-$0$ (או מתקיים תנאי נוסף), אז $\lim_{x\to 1}g(f(x))=0$. אבל ה**מסקנה ההפוכה** אינה נכונה — כאשר $g\equiv 0$, הגבול $g(f(x))\to 0$ מתקיים לכל $f$ ללא תלות בגבול של $f$. $\blacksquare$ --- **ד. נכון** סמן $A=\lim_{x\to a}f(x)$ ו-$B=\lim_{x\to a}(3f(x)-2g(x))$, שניהם קיימים וסופיים. אזי: $$2g(x)=3f(x)-\big(3f(x)-2g(x)\big).$$ לפי **חוקי האריתמטיקה של גבולות**: $$\lim_{x\to a}2g(x)=3A-B,$$ ולכן: $$\lim_{x\to a}g(x)=\frac{3A-B}{2}.$$ גבול זה קיים וסופי. $\blacksquare$