שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - אוניברסיטת תל אביב 2022 - סדרות

תהא $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ סדרה. הוכיחו או הפריכו: 1. אם $\{a_n\}$ סדרת קושי אז לכל $p \in \mathbb{N}^+$ ולכל $\varepsilon > 0$ קיים $N \in \mathbb{N}^+$ כך שלכל $n \geq N$ מתקיים $|a_{n+p} - a_n| \leq \varepsilon$. 2. אם לכל $p \in \mathbb{N}^+$ ולכל $\varepsilon > 0$ קיים $N \in \mathbb{N}^+$ כך שלכל $n \geq N$ מתקיים $|a_{n+p} - a_n| \leq \varepsilon$ אז $\{a_n\}$ סדרת קושי.

רמז: 1. נכון — נובע ישירות מהגדרת קושי (בחרו $m = n+p$). 2. לא נכון — בקושי דורשים $\forall m,n \geq N$ ולא רק $n+p$. דוגמה: $a_n = \ln n$.

פתרון: **1. נכון.** $\{a_n\}$ סדרת קושי: $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall m,n \geq N: |a_m - a_n| \leq \varepsilon$. בפרט, עבור $m = n+p$ (ו-$n \geq N$ גורר $m = n+p \geq N$): $|a_{n+p}-a_n| \leq \varepsilon$. $\blacksquare$ **2. לא נכון.** דוגמה נגדית: $a_n = \ln n$. לכל $p$ קבוע: $|a_{n+p}-a_n| = |\ln(n+p)-\ln n| = \ln(1+p/n) \to 0$. לכן לכל $\varepsilon > 0$ ו-$p$ קבוע, $\exists N$: $|a_{n+p}-a_n| \leq \varepsilon$ עבור $n \geq N$. אבל $a_n = \ln n \to \infty$, לכן $\{a_n\}$ **אינה סדרת קושי** (אינה מתכנסת).