שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - הטכניון 2024 - טורים

בחנו סדרת התחזוקות $$\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 + \sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{n^2+n}{n}} \cdot x^n$$ (א) טור התחזוקות מתכנס רק כאשר $x = 0$ (ב) תחום ההתכנסות שלו הוא $(-\infty, \infty)$ (ג) רדיוס ההתכנסות שלו הוא $e^{-1}$ (ד) רדיוס ההתכנסות שלו הוא $1$

רמז: פשטו את המעריך $\frac{n^2+n}{n}$ לביטוי פשוט יותר, ולאחר מכן השתמשו בנוסחת **קושי–אדמאר** $\frac{1}{R}=\lim|a_n|^{1/n}$ תוך בדיקת גבול הביטוי $\left(1+\sin\frac{1}{n}\right)^{\frac{n+1}{n}}$ כש־$n\to\infty$.

פתרון: נפשט תחילה את המעריך: $\frac{n^2+n}{n} = n+1$, ולכן הטור הוא $$\sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\left(1 + \sin\frac{1}{n}\right)^{n+1}}_{a_n} \cdot x^n.$$ **מציאת רדיוס ההתכנסות לפי קושי–אדמאר:** $$\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\sin\frac{1}{n}\right)^{\frac{n+1}{n}}.$$ נרשום את המעריך: $\dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n} \xrightarrow{n\to\infty} 1$. כמו כן, $\sin\dfrac{1}{n} \xrightarrow{n\to\infty} 0$, ולכן הבסיס $1+\sin\dfrac{1}{n} \to 1$. מכיוון שהפונקציה $f(b,e)=b^e$ רציפה, מתקבל: $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\sin\frac{1}{n}\right)^{1+1/n} = 1^1 = 1.$$ לפיכך $\dfrac{1}{R}=1$, כלומר **רדיוס ההתכנסות** הוא $R=1$. התשובה הנכונה היא **(ד)**. $\blacksquare$