שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - רציפות במידה שווה

הוכיחו כי הפונקציה $f(x) = \dfrac{\sin(1/x)}{\pi/2 - \arctan x}$ רציפה במידה שווה בקטע $[1,\infty)$.

רמז: שימו לב ש-$\pi/2 - \arctan x = \arctan(1/x)$ (זהות ידועה). הציבו $t = 1/x$ וקבלו $f(x) = g(t) = \frac{\sin t}{\arctan t}$ לכל $t \in (0,1]$. הוכיחו ש-$g$ רציפה ב-$[0,1]$ (עם $g(0)=1$) ולכן UC שם.

פתרון: **צעד 1:** נשתמש בזהות $\pi/2 - \arctan x = \arctan(1/x)$ לכל $x > 0$. לכן: $$f(x) = \frac{\sin(1/x)}{\arctan(1/x)} =: g\!\left(\frac{1}{x}\right)$$ כאשר $g(t) = \frac{\sin t}{\arctan t}$ לכל $t > 0$. **צעד 2:** נרחיב $g$ ל-$t=0$: $\lim_{t\to 0^+} \frac{\sin t}{\arctan t} = \frac{t + O(t^3)}{t + O(t^3)} \to 1$. לכן $g$ רציפה על $[0,1]$. **צעד 3:** $g$ רציפה על הקטע הסגור $[0,1]$, לכן לפי **משפט קנטור** היא **UC** על $[0,1]$. **צעד 4:** לכל $x, y \geq 1$: $\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right| = \frac{|x-y|}{xy} \leq |x-y|$. לכן הפונקציה $x \mapsto 1/x$ ליפשיצית (קבוע 1) על $[1,\infty)$. לכן $f(x) = g(1/x)$: הרכבה של פונקציה ליפשיציתית עם UC היא UC. ליתר דיוק: עבור $\varepsilon>0$ יהי $\delta>0$ של UC ל-$g$ על $[0,1]$. אם $|x-y|<\delta$, אז $|1/x-1/y| \leq |x-y| < \delta$, ולכן $|f(x)-f(y)| = |g(1/x)-g(1/y)| < \varepsilon$. $\blacksquare$