שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - נגזרות

הוכיחו שלכל $0<x<1$ מתקיים $\arcsin x>x+\dfrac{x^3}{6}$.

רמז: הגדירו $h(x)=\arcsin x-x-\frac{x^3}{6}$, בדקו ש-$h(0)=0$ והראו ש-$h'(x)>0$ על $(0,1)$.

פתרון: הגדר $h(x)=\arcsin x-x-\frac{x^3}{6}$. $h(0)=0$. $h'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1-\frac{x^2}{2}$. **הוכחה ש-$h'(x)>0$ על $(0,1)$:** נדרש $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>1+\frac{x^2}{2}$. שני האגפים חיוביים על $(0,1)$, ולכן שקול לריבוע: $$\frac{1}{1-x^2}>\left(1+\frac{x^2}{2}\right)^2=1+x^2+\frac{x^4}{4}.$$ שקול ל-$1>(1+x^2+\frac{x^4}{4})(1-x^2)$: $$(1+x^2+\frac{x^4}{4})(1-x^2)=1+x^2+\frac{x^4}{4}-x^2-x^4-\frac{x^6}{4}=1-\frac{3x^4}{4}-\frac{x^6}{4}<1.$$ מתקיים לכל $x\in(0,1)$ כי $\frac{3x^4}{4}+\frac{x^6}{4}>0$. ✓ לכן $h'(x)>0$ על $(0,1)$, $h$ מונוטונית עולה, ו-$h(0)=0$, ולכן $h(x)>0$ לכל $x\in(0,1)$: $$\arcsin x>x+\frac{x^3}{6}.\quad\blacksquare$$