שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - רציפות

תהי: $$f(x) = \begin{cases} (\sqrt{x+4}-1)^{\frac{4}{x}} & x < 0 \\ e & x = 0 \\ e^{\frac{a}{x}} + e + x\cos\!\left(\dfrac{a}{x}\right) & x > 0 \end{cases}$$ איזו מהאפשרויות הבאות נכונה? א. עבור $a = 0$, $f$ רציפה ב-$x = 0$. ב. עבור $a = 0$, $x = 0$ הינה נקודת רציפות סליקה של $f$. ג. עבור $a < 0$, $f$ רציפה ב-$x = 0$. ד. עבור $a < 0$, $x = 0$ הינה נקודת אי-רציפות מסוג ראשון של $f$. ה. עבור $a < 0$, $x = 0$ הינה נקודת אי-רציפות מסוג שני של $f$. ו. אף אחת מהטענות הנ"ל אינה נכונה.

רמז: חשבו בנפרד את הגבול מימין ומשמאל ב-$x = 0$. עבור $x \to 0^-$: נסו להשתמש בנוסחת הגבול $(1 + u)^{1/u} \to e$ כשמתאים. עבור $x \to 0^+$: בחנו מה קורה כאשר $a < 0$ (אז $a/x \to -\infty$) ואם $a = 0$.

פתרון: **חישוב הגבול מהשמאל ($x \to 0^-$):** עבור $x < 0$: $f(x) = (\sqrt{x+4} - 1)^{4/x}$. ב-$x = 0$: $\sqrt{0+4} - 1 = 2 - 1 = 1$. לכן הבסיס שואף ל-$1$ והמעריך שואף ל-$\pm\infty$ — ניצוב $1^\infty$. נכתוב: $(\sqrt{x+4}-1)^{4/x} = e^{\frac{4}{x}\ln(\sqrt{x+4}-1)}$. נחשב $\lim_{x \to 0^-} \frac{4\ln(\sqrt{x+4}-1)}{x}$: ב-$x = 0$: $\sqrt{x+4} = 2 + \frac{x}{4} + O(x^2)$, לכן $\sqrt{x+4} - 1 = 1 + \frac{x}{4} + O(x^2)$. $\ln(1 + \frac{x}{4} + O(x^2)) \approx \frac{x}{4}$ עבור $x \to 0$. לכן $\frac{4\ln(\sqrt{x+4}-1)}{x} \approx \frac{4 \cdot \frac{x}{4}}{x} = 1$. ולכן $\lim_{x \to 0^-} f(x) = e^1 = e$. **חישוב הגבול מהימין ($x \to 0^+$):** עבור $x > 0$: $f(x) = e^{a/x} + e + x\cos(a/x)$. - **אם $a = 0$:** $f(x) = e^0 + e + x\cos(0) = 1 + e + x \to 1 + e \neq e$. הגבול מהימין שונה מ-$f(0) = e$. אך הגבול משמאל הוא $e$, לכן הגבול הכללי אינו קיים. - **אם $a < 0$:** $\frac{a}{x} \to -\infty$ כש-$x \to 0^+$, לכן $e^{a/x} \to 0$. גם $x\cos(a/x)$: $|x\cos(a/x)| \leq |x| \to 0$. לכן $f(x) \to 0 + e + 0 = e = f(0)$. **מסקנה:** עבור $a < 0$, הגבול מהשמאל $= e$, הגבול מהימין $= e$, ו-$f(0) = e$, לכן $f$ **רציפה** ב-$x = 0$. **התשובה הנכונה: ג.**