שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2016 - נגזרות
קורס: אינפי 1 / חדו"א 1
אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה
שנה: 2016
סמסטר: א
נושאים: נגזרות, הוכחה, משפט ערך הביניים
רמת קושי: בינוני
תהי $f$ פונקציה גזירה ב-$[0,1]$, כך ש-$0\leq f'(x)\leq 1$ לכל $x\in[0,1]$. הוכיחו כי קיימת נקודה $x\in[0,1]$ כך ש-$f'(x)=x$.
רמז: הגדירו $h(x)=f(x)-\frac{x^2}{2}$ ובדקו את $h'(0)$ ו-$h'(1)$. השתמשו במשפט דארבו.
פתרון: נגדיר $h(x)=f(x)-\dfrac{x^2}{2}$. אז $h'(x)=f'(x)-x$.
$h'(0)=f'(0)-0=f'(0)\geq0$.
$h'(1)=f'(1)-1\leq0$ (כי $f'(1)\leq1$).
לפי **משפט דארבו** המיושם על $h'$ (שהיא נגזרת הפונקציה הגזירה $h$):
מאחר ש-$h'(0)\geq0\geq h'(1)$, קיים $c\in[0,1]$ עם $h'(c)=0$, כלומר $f'(c)=c$. $\blacksquare$
תהי f פונקציה גזירה ב-[0,1], כך ש-0≤f′(x)≤1 לכל x∈[0,1]. הוכיחו כי קיימת נקודה x∈[0,1] כך ש-f′(x)=x.
העתק שאלה
שתף שאלה
סמן כחשוב
סמן כבוצע
האוניברסיטה הפתוחה83 · 2016 · סמסטר א
★★★★★
נגזרותהוכחהמשפט ערך הביניים
הגדירו h(x)=f(x)−2x2 ובדקו את h′(0) ו-h′(1). השתמשו במשפט דארבו.
נגדיר h(x)=f(x)−2x2. אז h′(x)=f′(x)−x.
h′(0)=f′(0)−0=f′(0)≥0.
h′(1)=f′(1)−1≤0 (כי f′(1)≤1).
לפי משפט דארבו המיושם על h′ (שהיא נגזרת הפונקציה הגזירה h): מאחר ש-h′(0)≥0≥h′(1), קיים c∈[0,1] עם h′(c)=0, כלומר f′(c)=c. ■