שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - רציפות במידה שווה

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה $f(x) = \dfrac{\sin\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ רציפה במידה שווה בקטע $(0, \infty)$.

רמז: שימו לב ש-$f(x) = \frac{x\sin(1/x)}{x+1}$, שמתקרבת ל-0 גם כאשר $x\to 0^+$ וגם כאשר $x\to\infty$. חלקו את $(0,\infty)$ לקטע סגור וחסום ולשארית, והשתמשו במשפט קנטור.

פתרון: **הטענה נכונה** — $f$ רציפה במידה שווה על $(0,\infty)$. **הוכחה:** נכתוב $f(x) = \dfrac{x\sin(1/x)}{x+1}$. שימו לב ש-$|f(x)| \leq \dfrac{x}{x+1} < 1$ ו-$|f(x)| \leq \dfrac{x}{x+1} \leq x \to 0$ כאשר $x \to 0^+$. גם $|f(x)| \leq \dfrac{1}{x+1} \to 0$ כאשר $x \to \infty$. יהי $\varepsilon > 0$. בחרו $M > 0$ גדול כך ש-$\dfrac{1}{M+1} < \dfrac{\varepsilon}{2}$. **הרחבה ל-$[0, 2M]$:** הגדירו $\tilde{f}(0) = 0$. אז $\tilde{f}$ רציפה על $[0,2M]$ (קל לבדוק $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0$). ממשפט קנטור, $\tilde{f}$ רציפה במידה שווה על $[0,2M]$: קיים $\delta > 0$ כך ש-$|x-y| < \delta$ ו-$x,y \in [0,2M]$ גוררים $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$. **עבור $x, y \in (0,\infty)$ עם $|x-y| < \min(\delta, M)$:** - אם שניהם ב-$(M,\infty)$: $|f(x)-f(y)| \leq |f(x)|+|f(y)| \leq \dfrac{1}{M+1}+\dfrac{1}{M+1} < \varepsilon$. - אם $x \leq M$ ו-$y > M$ (או להפך): $|y-x| < M$ גורר $y < 2M$, ולכן שניהם ב-$[0,2M]$. Use $\delta$. - אם שניהם ב-$(0,2M)$: השתמשו ב-$\delta$. לכן $f$ רציפה במידה שווה על $(0,\infty)$. $\blacksquare$