שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2018 - נגזרות

תהי $f(x) = \dfrac{\sin(x^2)}{x}$. אילו מהטענות הבאות נכונות? 1. $f$ חסומה ב-$(0,\infty)$. 2. $f'$ חסומה ב-$(0,\infty)$. אפשרויות: א. רק 1 ב. רק 2 ג. 1 ו-2 ד. אף טענה אינה נכונה.

רמז: לגבי טענה 1: $|f(x)| = |\sin(x^2)|/x \leq 1/x$ לכל $x > 0$, אך בסביבת 0 זה מתפוצץ... בדקו בסביבת אינסוף. לגבי טענה 2: חשבו $f'$ וחסמו.

פתרון: **טענה 1 — $f$ חסומה:** $|f(x)| = \frac{|\sin(x^2)|}{x} \leq \frac{1}{x}$. אך זה מתפוצץ ב-$x \to 0^+$. בפועל $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\sin(x^2)}{x} = \lim_{x\to 0^+} x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 0$. לכן $f$ חסומה בסביבת 0. ב-$(1,\infty)$: $|f(x)| \leq 1/x \leq 1$. על $[\varepsilon, 1]$: $f$ רציפה ולכן חסומה. לכן $f$ **חסומה** ✓. **טענה 2 — $f'$ חסומה:** $f'(x) = \frac{2x\cos(x^2)\cdot x - \sin(x^2)}{x^2} = 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2}$. $\left|\frac{\sin(x^2)}{x^2}\right| \leq 1$ לכל $x > 0$ ו-$|2\cos(x^2)| \leq 2$. לכן $|f'(x)| \leq 3$ — $f'$ **חסומה** ✓. **תשובה: ג — שתי הטענות נכונות.**