שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2016 - רציפות

תהי $f$ פונקציה רציפה ב-$[0,\infty)$ המקיימת $\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell$. הוכיחו: אם קיים $x_0\in[0,\infty)$ כך ש-$f(x_0)<\ell$, אז $f$ מקבלת מינימום ב-$[0,\infty)$.

רמז: מ-$f(x)\to\ell>f(x_0)$, מצאו $R$ שמחוצה לו $f(x)>f(x_0)$. אז המינימום על $[0,R]$ הוא המינימום הגלובלי.

פתרון: יהי $\varepsilon=\frac{\ell-f(x_0)}{2}>0$. מ-$\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell$: קיים $R>x_0$ כך שלכל $x>R$: $$f(x)>\ell-\varepsilon=\frac{\ell+f(x_0)}{2}>f(x_0)$$ $f$ רציפה על $[0,R]$ (קטע סגור), לכן לפי **משפט ויירשטראס** קיים $y_0\in[0,R]$ עם $f(y_0)=\min_{[0,R]}f\leq f(x_0)$. לכל $x>R$: $f(x)>f(x_0)\geq f(y_0)$. לכל $x\in[0,R]$: $f(x)\geq f(y_0)$. לכן $f(y_0)$ הוא המינימום של $f$ על $[0,\infty)$. $\blacksquare$