שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - הוכח או הפרך

**הוכח או הפרך:** (א) אם $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ רציפה ומונוטונית עולה ממש, אז $\lim_{x\to\infty}f(x) = +\infty$. (ב) אם $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ רציפה ו-$\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty$, אז $f$ מונוטונית עולה ממש מנקודה כלשהי.

רמז: (א) חשבו על $f(x) = \arctan(x)$ — מונוטונית עולה ממש, אך חסומה. (ב) חשבו על $f(x) = x + \sin(x)$ — שואפת לאינסוף, אבל הנגזרת מתאפסת (ואף לא בהכרח מונוטונית ממש בשום חצי-ישר).

פתרון: **(א) הטענה שגויה.** **דוגמה נגדית:** $f(x) = \arctan(x)$. - $f$ רציפה ומונוטונית עולה ממש (כי $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}>0$). - $\lim_{x\to\infty}f(x) = \frac{\pi}{2} \neq +\infty$. $\blacksquare$ **(ב) הטענה שגויה.** **דוגמה נגדית:** $f(x) = x + 2\sin(x)$. - $f$ רציפה ו-$\lim_{x\to\infty}f(x) = +\infty$ (כי $x + 2\sin x \geq x - 2 \to +\infty$). - $f'(x) = 1 + 2\cos(x)$. בנקודות $x_n = \pi + 2\pi n$: $f'(x_n) = 1 + 2\cos(\pi) = 1 - 2 = -1 < 0$. לכן בכל קטע $(M,\infty)$ קיימות נקודות שבהן $f' < 0$, כלומר $f$ אינה מונוטונית עולה ממש בשום חצי-ישר $[M,\infty)$. $\blacksquare$