שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2019 - חוק אמפר

נתון התקן בצורת תיבה הבנוי משני מקורות זרם הנמצאים במישורים $z=\pm d$, היוצרים זרם משטחי קבוע $\pm J_0\hat y$ לאורך כל אחד מהמישורים. הנחות: ההתקן אינסופי ביחס לצירים $x$ ו-$y$; השדה החשמלי מתאפס על מישור $z=0$; השדה המגנטי קבוע בהתקן ומתאפס מחוצה לו. **א.** מתוך הסימטריות בבעיה, מצאו את כיוון השדה המגנטי בתוך ההתקן. **ב.** מצאו את השדות הא"מ בהתקן. מעתה מקור הזרם תלוי בזמן, כך שצפיפויות הזרם המשטחי מקיימות $\vec J_s(z=\pm d)=\pm J_0\cos(\omega t)\hat y$. **ג.** מהו התנאי למשטר קווזי-סטטי על התדר $\omega$? איזה סוג משטר זה יהיה? **ד.** מה יהיה כיוון השדה החשמלי כעת, ובאיזו קואורדינטה יהיה תלוי? **ה.** מצאו את השדות הא"מ הדומיננטיים בהתקן לפי סוג המשטר שבחרתם (לכל שדה — הסדר הראשון בפיתוח השונה מאפס). **ו.** מצאו את הממוצע בזמן של צפיפות האנרגיה החשמלית והמגנטית בהתקן, והסבירו דרכם מדוע המשטר הקווזי-סטטי מוצדק. **ז.** מצאו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי והראו את קיום משפט פוינטינג הדיפרנציאלי הקומפלקסי בתוך ההתקן. כעת מכניסים פיסת חומר דיאמגנטי בעלת $\mu_r,\epsilon_0$ לתוך ההתקן, עד נקודה $y_0$. אורך ההתקן בציר $y$ הוא $L$, וניתן להניח $L$ גדול בהרבה מכל אורך אחר בבעיה. **ח.** מצאו את הביטוי בזמן לשדה המגנטי בכל נקודה בהתקן. **ט.** מצאו את סך האנרגיה המגנטית ליחידת אורך בציר $\hat x$ בהתקן, כתלות ב-$y_0$ ובזמן.

רמז: מסימטריה $\vec H=-J_0\hat x$ (מתנאי הקפיצה של אמפר), ובתדר DC $\vec E=0$. במשטר MQS ($\omega\ll\pi c/d$) פאזור $\vec H$ נשאר, אך $\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0\vec H$ נותן $\vec E=-j\omega\mu_0J_0z\,\hat y$. יחס האנרגיות $c^2/(\omega^2z^2)\gg1$ מצדיק את המשטר.

פתרון: **א.** מהסימטריה בצירים $x,y$ הנגזרות בכיוונים אלה מתאפסות. מחוק אמפר וכיווני הזרמים השדה המגנטי בכיוון $-\hat x$: $\vec H=H_x(-\hat x)$. **ב.** מתנאי השפה ב-$z=d$: $J_0\hat y=\hat n\times(\vec H_{out}-\vec H_{in})=\hat z\times(-\hat x)H_x=-H_x\hat y$, ולכן $H_x=-J_0$, כלומר $\vec H=-J_0\hat x$. לשדה החשמלי, מ-$\nabla\times\vec E_{in}=-\mu_0\dfrac{\partial\vec H_{in}}{\partial t}=0$ (בתדר DC) ומהנתון $\vec E=0$ על $z=0$ — $\vec E_{in}=0$. **ג.** התנאי הוא $2d\ll\lambda=\dfrac{2\pi c}{\omega}$, כלומר $\omega\ll\dfrac{\pi c}{d}$. המשטר הוא **מגנטו-קווזי-סטטי (MQS)**: בתדר נמוך השדה החשמלי מתאפס לחלוטין, כפי שנראה בסעיף ב. **ד.** מהסימטריה השדה תלוי רק בקואורדינטה $z$, ומכיוון שהשדה המגנטי בכיוון $\hat x$, השדה החשמלי יהיה בכיוון $\hat y$: $\vec E_{in}=E_y(z)\hat y$. **ה.** פאזור השדה המגנטי מקיים אותה משוואה כמו בתדר DC, ולכן $\vec H=-J_0\hat x$. כעת הנגזרת בזמן של $\vec H$ אינה מתאפסת: $$\nabla\times\vec E_{in}=-j\omega\mu_0\vec H_{in}\ \Rightarrow\ -\partial_zE_y=j\omega\mu_0J_0\ \Rightarrow\ E_y=-j\omega\mu_0J_0z+C$$ ומהתנאי $E_y(z=0)=0$ נובע $C=0$, כך ש-$\vec E=-j\omega\mu_0J_0z\,\hat y$. **ו.** צפיפויות האנרגיה הממוצעות: $$\langle w_m\rangle=\tfrac14\vec B_{in}\cdot\vec H_{in}^*=\dfrac{\mu_0}{4}J_0^2,\qquad \langle w_e\rangle=\tfrac14\vec D_{in}\cdot\vec E_{in}^*=\dfrac{\epsilon_0}{4}\omega^2\mu_0^2J_0^2z^2$$ היחס $\dfrac{\langle w_m\rangle}{\langle w_e\rangle}=\dfrac{1}{\mu_0\epsilon_0\omega^2z^2}=\dfrac{c^2}{\omega^2z^2}>\dfrac{c^2}{\omega^2d^2}\gg1$. האנרגיה המגנטית דומיננטית, ולכן המשטר MQS מוצדק. **ז.** $\vec S=\tfrac12\vec E_{in}\times\vec H_{in}^*=\dfrac{j\omega\mu_0J_0^2z}{2}(\hat y\times\hat x)=-\dfrac{j\omega\mu_0J_0^2z}{2}\hat z$. מכאן $\nabla\cdot\vec S=\partial_zS_z=-\dfrac{j\omega\mu_0J_0^2}{2}$, ומתקיים משפט פוינטינג הקומפלקסי $\nabla\cdot\vec S+2j\omega\langle w_m\rangle=0$. **ח.** השדה המגנטי אינו מושפע מהכנסת הפיסה, ולכן $\vec H_{in}=-J_0\hat x$ בכל ההתקן, ובזמן: $$\vec H_{in}(t)=-J_0\cos(\omega t)\hat x$$ **ט.** אינטגרציה של צפיפות האנרגיה על החתך (הפיסה $0<y<y_0$ בעלת $\mu_r$, השאר $y_0<y<L$ בעל $\mu_0$; $z$ מ-$-d$ עד $d$): $$W_m(t)=d\big[\mu_r y_0+\mu_0(L-y_0)\big]J_0^2\cos^2(\omega t)$$ $\blacksquare$