שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2015

קורס: הסתברות

אוניברסיטה: אוניברסיטת בר-אילן

שנה: 2015

סמסטר: א

נושאים: הסתברות מותנית, נוסחת ההסתברות השלמה, נוסחת בייס, משתנה מקרי רציף, פונקציית צפיפות, פונקציית התפלגות מצטברת, תוחלת, סטיית תקן, התפלגויות רציפות, התפלגות אחידה, התפלגות נורמלית

רמת קושי: בינוני-קשה

משך הזמן של שיחה עם לקוח פרטי במוקד טלפוני הוא משתנה מקרי אחיד רציף עם ערך מינימום של דקה אחת ותוחלת של 5 דקות. משך הזמן של שיחה עם לקוח עסקי במוקד טלפוני הוא משתנה מקרי נורמלי עם תוחלת של 4 דקות וסטיית תקן של דקה. 80% מהשיחות למוקד הן מלקוחות פרטיים השאר עסקיים. א. (8%) מה ההסתברות שהמשך של השיחה הבאה מלקוח פרטי שתתקבל במוקד יהיה ארוך מ – 10 דקות ? ב. (8%) שיחה ארכה פחות מ- 6 דקות , מה ההסתברות שזוהי היתה שיחה עם לקוח עסקי. ג. (8%) ידוע כי לקוח עסקי מדבר עם נציג טלפוני כבר 3 דקות, מה ההסתברות שהשיחה תמשך לפחות עוד 2 דקות.

רמז: ראשית, זהו את שתי ההתפלגויות של משך השיחה (אחידה ונורמלית) ואת הפרמטרים שלהן מהנתונים. לאחר מכן, השתמשו בנוסחת בייס ובהגדרת הסתברות מותנית כדי לענות על הסעיפים.

פתרון: ראשית, נגדיר את המשתנים המקריים והפרמטרים שלהם על פי נתוני השאלה. יהי $T_P$ משך הזמן של שיחה עם לקוח פרטי. נתון ש-$T_P$ הוא **משתנה מקרי אחיד רציף** עם ערך מינימום $a=1$. נתונה גם ה**תוחלת** $E[T_P]=5$. הנוסחה לתוחלת של התפלגות אחידה $U(a,b)$ היא $E[X] = \frac{a+b}{2}$. נציב את הנתונים: $5 = \frac{1+b}{2} \Rightarrow 10 = 1+b \Rightarrow b=9$. לכן, $T_P \sim U(1, 9)$. פונקציית הצפיפות של $T_P$ היא $f_{T_P}(t) = \frac{1}{9-1} = \frac{1}{8}$ עבור $1 \le t \le 9$, ו-0 אחרת. יהי $T_B$ משך הזמן של שיחה עם לקוח עסקי. נתון ש-$T_B$ הוא **משתנה מקרי נורמלי** עם **תוחלת** $\mu=4$ דקות ו**סטיית תקן** $\sigma=1$ דקה. לכן, $T_B \sim N(\mu=4, \sigma^2=1^2)$. נגדיר את המאורעות: $P$: שיחה עם לקוח פרטי. נתון $P(P) = 0.8$. $B$: שיחה עם לקוח עסקי. נתון $P(B) = 1 - P(P) = 0.2$. כעת, ניגש לפתרון הסעיפים. **א. ההסתברות ששיחה עם לקוח פרטי תהיה ארוכה מ-10 דקות** אנו מחפשים את ההסתברות $P(T_P > 10)$. ההתפלגות של $T_P$ היא אחידה בקטע $[1, 9]$. מחוץ לקטע זה, פונקציית הצפיפות היא 0. מכיוון ש-10 נמצא מחוץ לקטע התומך של המשתנה המקרי, ההסתברות לקבל ערך גדול מ-9 (ולכן גם גדול מ-10) היא 0. $P(T_P > 10) = \int_{10}^{\infty} f_{T_P}(t) dt = \int_{10}^{\infty} 0 dt = 0$. **ב. אם שיחה ארכה פחות מ-6 דקות, מה ההסתברות שהייתה עם לקוח עסקי** אנו רוצים לחשב את ה**הסתברות המותנית** $P(B | T < 6)$, כאשר $T$ הוא משך שיחה אקראית. נשתמש ב**נוסחת בייס**: $P(B | T < 6) = \frac{P(T < 6 | B) P(B)}{P(T < 6)}$. נחשב כל רכיב בנפרד: 1. $P(B) = 0.2$ (נתון). 2. $P(T < 6 | B)$: זו ההסתברות ששיחת לקוח עסקי תארך פחות מ-6 דקות, כלומר $P(T_B < 6)$. $T_B \sim N(4, 1)$. נבצע סטנדרטיזציה למשתנה נורמלי סטנדרטי $Z \sim N(0,1)$: $P(T_B < 6) = P(\frac{T_B - \mu}{\sigma} < \frac{6-4}{1}) = P(Z < 2) = \Phi(2) \approx 0.9772$. 3. $P(T < 6)$: נחשב זאת באמצעות **נוסחת ההסתברות השלמה**: $P(T < 6) = P(T < 6 | P)P(P) + P(T < 6 | B)P(B)$. - $P(T < 6 | P) = P(T_P < 6)$. מכיוון ש-$T_P \sim U(1, 9)$: $P(T_P < 6) = \int_1^6 \frac{1}{8} dt = \frac{1}{8}[t]_1^6 = \frac{6-1}{8} = \frac{5}{8} = 0.625$. - כעת נציב בנוסחת ההסתברות השלמה: $P(T < 6) = (0.625)(0.8) + (0.9772)(0.2) = 0.5 + 0.19544 = 0.69544$. לבסוף, נציב הכל בנוסחת בייס: $P(B | T < 6) = \frac{0.9772 \cdot 0.2}{0.69544} = \frac{0.19544}{0.69544} \approx 0.2810$. **ג. בהינתן שלקוח עסקי מדבר 3 דקות, מה ההסתברות שהשיחה תארך עוד 2 דקות לפחות** אנו רוצים לחשב את ההסתברות המותנית $P(T_B \ge 3+2 | T_B \ge 3) = P(T_B \ge 5 | T_B \ge 3)$. לפי הגדרת **הסתברות מותנית** עבור משתנים רציפים: $P(T_B \ge 5 | T_B \ge 3) = \frac{P(T_B \ge 5 \text{ וגם } T_B \ge 3)}{P(T_B \ge 3)}$. המאורע "$T_B \ge 5$ וגם $T_B \ge 3$" הוא פשוט "$T_B \ge 5$". לכן: $P(T_B \ge 5 | T_B \ge 3) = \frac{P(T_B \ge 5)}{P(T_B \ge 3)}$. נחשב כל הסתברות בנפרד באמצעות סטנדרטיזציה: - $P(T_B \ge 5) = P(\frac{T_B - 4}{1} \ge \frac{5-4}{1}) = P(Z \ge 1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587$. - $P(T_B \ge 3) = P(\frac{T_B - 4}{1} \ge \frac{3-4}{1}) = P(Z \ge -1) = P(Z \le 1) = \Phi(1) \approx 0.8413$. נציב ונקבל: $P(T_B \ge 5 | T_B \ge 3) = \frac{0.1587}{0.8413} \approx 0.1886$. חשוב לציין כי להתפלגות הנורמלית אין תכונת "חוסר זיכרון", ולכן העובדה שהשיחה כבר נמשכת 3 דקות משפיעה על ההסתברות המותנית. $\blacksquare$

משך הזמן של שיחה עם לקוח פרטי במוקד טלפוני הוא משתנה מקרי אחיד רציף עם ערך מינימום של דקה אחת ותוחלת של 5 דקות. משך הזמן של שיחה עם לקוח עסקי במוקד טלפוני הוא משתנה מקרי נורמלי עם תוחלת של 4 דקות וסטיית תקן של דקה. 80% מהשיחות למוקד הן מלקוחות פרטיים השאר עסקיים.
א. (8%) מה ההסתברות שהמשך של השיחה הבאה מלקוח פרטי שתתקבל במוקד יהיה ארוך מ – 10 דקות ?
ב. (8%) שיחה ארכה פחות מ- 6 דקות , מה ההסתברות שזוהי היתה שיחה עם לקוח עסקי.
ג. (8%) ידוע כי לקוח עסקי מדבר עם נציג טלפוני כבר 3 דקות, מה ההסתברות שהשיחה תמשך לפחות עוד 2 דקות.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א2015סמסטר א

★★★★★

הסתברות מותניתנוסחת ההסתברות השלמהנוסחת בייסמשתנה מקרי רציףפונקציית צפיפותפונקציית התפלגות מצטברתתוחלתסטיית תקןהתפלגויות רציפותהתפלגות אחידההתפלגות נורמלית

ראשית, זהו את שתי ההתפלגויות של משך השיחה (אחידה ונורמלית) ואת הפרמטרים שלהן מהנתונים. לאחר מכן, השתמשו בנוסחת בייס ובהגדרת הסתברות מותנית כדי לענות על הסעיפים.

ראשית, נגדיר את המשתנים המקריים והפרמטרים שלהם על פי נתוני השאלה.

יהי

T_{P}

משך הזמן של שיחה עם לקוח פרטי. נתון ש-

T_{P}

הוא משתנה מקרי אחיד רציף עם ערך מינימום

a = 1

. נתונה גם התוחלת

E [T_{P}] = 5

. הנוסחה לתוחלת של התפלגות אחידה

U (a, b)

היא

E [X] = \frac{a + b}{2}

.
נציב את הנתונים:

5 = \frac{1 + b}{2} \Rightarrow 10 = 1 + b \Rightarrow b = 9

.
לכן,

T_{P} \sim U (1, 9)

. פונקציית הצפיפות של

T_{P}

היא

f_{T_{P}} (t) = \frac{1}{9 - 1} = \frac{1}{8}

עבור

1 \leq t \leq 9

, ו-0 אחרת.

יהי

T_{B}

משך הזמן של שיחה עם לקוח עסקי. נתון ש-

T_{B}

הוא משתנה מקרי נורמלי עם תוחלת

μ = 4

דקות וסטיית תקן

σ = 1

דקה. לכן,

T_{B} \sim N (μ = 4, σ^{2} = 1^{2})

.

נגדיר את המאורעות:

P

: שיחה עם לקוח פרטי. נתון

P (P) = 0.8

B

: שיחה עם לקוח עסקי. נתון

P (B) = 1 - P (P) = 0.2

.

כעת, ניגש לפתרון הסעיפים.

א. ההסתברות ששיחה עם לקוח פרטי תהיה ארוכה מ-10 דקות

אנו מחפשים את ההסתברות

P (T_{P} > 10)

.
ההתפלגות של

T_{P}

היא אחידה בקטע

[1, 9]

. מחוץ לקטע זה, פונקציית הצפיפות היא 0. מכיוון ש-10 נמצא מחוץ לקטע התומך של המשתנה המקרי, ההסתברות לקבל ערך גדול מ-9 (ולכן גם גדול מ-10) היא 0.

P (T_{P} > 10) = \int_{10}^{\infty} f_{T_{P}} (t) d t = \int_{10}^{\infty} 0 d t = 0

.

ב. אם שיחה ארכה פחות מ-6 דקות, מה ההסתברות שהייתה עם לקוח עסקי

אנו רוצים לחשב את ההסתברות המותנית

P (B ∣ T < 6)

, כאשר

T

הוא משך שיחה אקראית.
נשתמש בנוסחת בייס:

P (B ∣ T < 6) = \frac{P ( T < 6∣ B ) P ( B )}{P ( T < 6 )}

.

נחשב כל רכיב בנפרד:
1.

P (B) = 0.2

(נתון).
2.

P (T < 6∣ B)

: זו ההסתברות ששיחת לקוח עסקי תארך פחות מ-6 דקות, כלומר

P (T_{B} < 6)

T_{B} \sim N (4, 1)

. נבצע סטנדרטיזציה למשתנה נורמלי סטנדרטי

Z \sim N (0, 1)

P (T_{B} < 6) = P (\frac{T _{B} - μ}{σ} < \frac{6 - 4}{1}) = P (Z < 2) = Φ (2) \approx 0.9772

.
3.

P (T < 6)

: נחשב זאת באמצעות נוסחת ההסתברות השלמה:

P (T < 6) = P (T < 6∣ P) P (P) + P (T < 6∣ B) P (B)

$P (T < 6∣ P) = P (T_{P} < 6)$ . מכיוון ש- $T_{P} \sim U (1, 9)$ :

P (T_{P} < 6) = \int_{1}^{6} \frac{1}{8} d t = \frac{1}{8} [t]_{1}^{6} = \frac{6 - 1}{8} = \frac{5}{8} = 0.625

כעת נציב בנוסחת ההסתברות השלמה:

P (T < 6) = (0.625) (0.8) + (0.9772) (0.2) = 0.5 + 0.19544 = 0.69544

.

לבסוף, נציב הכל בנוסחת בייס:

P (B ∣ T < 6) = \frac{0.9772 \cdot 0.2}{0.69544} = \frac{0.19544}{0.69544} \approx 0.2810

.

ג. בהינתן שלקוח עסקי מדבר 3 דקות, מה ההסתברות שהשיחה תארך עוד 2 דקות לפחות

אנו רוצים לחשב את ההסתברות המותנית

P (T_{B} \geq 3 + 2∣ T_{B} \geq 3) = P (T_{B} \geq 5∣ T_{B} \geq 3)

.
לפי הגדרת הסתברות מותנית עבור משתנים רציפים:

P (T_{B} \geq 5∣ T_{B} \geq 3) = \frac{P ( T _{B} \geq 5 וגם T _{B} \geq 3 )}{P ( T _{B} \geq 3 )}

.
המאורע "

T_{B} \geq 5

וגם

T_{B} \geq 3

" הוא פשוט "

T_{B} \geq 5

". לכן:

P (T_{B} \geq 5∣ T_{B} \geq 3) = \frac{P ( T _{B} \geq 5 )}{P ( T _{B} \geq 3 )}

.

נחשב כל הסתברות בנפרד באמצעות סטנדרטיזציה:

$P (T_{B} \geq 5) = P (\frac{T _{B} - 4}{1} \geq \frac{5 - 4}{1}) = P (Z \geq 1) = 1 - P (Z < 1) = 1 - Φ (1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587$ .
$P (T_{B} \geq 3) = P (\frac{T _{B} - 4}{1} \geq \frac{3 - 4}{1}) = P (Z \geq - 1) = P (Z \leq 1) = Φ (1) \approx 0.8413$ .

נציב ונקבל:

P (T_{B} \geq 5∣ T_{B} \geq 3) = \frac{0.1587}{0.8413} \approx 0.1886

.
חשוב לציין כי להתפלגות הנורמלית אין תכונת "חוסר זיכרון", ולכן העובדה שהשיחה כבר נמשכת 3 דקות משפיעה על ההסתברות המותנית.

■

שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2015 - הסתברות מותנית