שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2020

קורס: הסתברות

אוניברסיטה: אוניברסיטת בר-אילן

שנה: 2020

סמסטר: א

נושאים: משתנה מקרי, משתנה מקרי בדיד, התפלגות גאומטרית, תוחלת, תוחלת מותנית, הסתברות מותנית, אי-תלות

רמת קושי: בינוני-קשה

נתונה קובייה הוגנת הממוספרת מ-1 ועד 6 (לכל תוצאה אותה ההסתברות). נערך הניסוי הבא: מטילים את הקובייה עד שמתקבל מספר זוגי. נסמן ב-$X$ את מספר ההטלות בניסוי (כולל ההטלה האחרונה). סעיף א (8 נק') 1. חשב/י את $\mathbb{E}[X]$. נמק/י את חישובך. (4 נק') 2. בהינתן שתוצאת ההטלה הראשונה היא 3, חשב את התוחלת של $X$ (4 נק'). סעיף ב (9 נק') נסמן ב-$Y$ את סכום התוצאות הכולל בכל ההטלות שנערכו בניסוי. חשב את $\mathbb{E}[Y | X \leq 2]$. נמק/י את חישוביך. סעיף ג (8 נק') נערך הניסוי החדש הבא: קוביית משחק הוגנת מוטלת עד שמתקבל רצף של שני מספרים זוגיים בשתי הטלות עוקבות. נסמן ב-$Z$ את מספר ההטלות הכולל (כולל ההטלה האחרונה). חשב/י את $\mathbb{E}[Z]$. נמק/י את חישובך.

רמז: סעיף א': זהו את ההתפלגות של מספר ההטלות עד להצלחה הראשונה וזכרו את תכונת חוסר הזיכרון. סעיף ב': חשבו את התוחלת של סכום התוצאות עבור כל אחד מהמקרים ($X=1$ ו-$X=2$) והשתמשו בהסתברויות המותנות. סעיף ג': הגדירו משוואה רקורסיבית עבור התוחלת על ידי מיזוג על תוצאות ההטלות הראשונות.

פתרון: ### סעיף א 1. המשתנה המקרי $X$ סופר את מספר ההטלות עד לקבלת תוצאה זוגית בפעם הראשונה. זוהי הגדרה של **משתנה מקרי גיאומטרי**. הצלחה בניסוי היא קבלת מספר זוגי (2, 4, או 6). ההסתברות להצלחה בכל הטלה היא $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. לכן, $X \sim \text{Geom}(p=\frac{1}{2})$. ה**תוחלת** של משתנה מקרי גיאומטרי $X \sim \text{Geom}(p)$ נתונה על ידי הנוסחה $\mathbb{E}[X] = \frac{1}{p}$. במקרה שלנו: $$ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{1/2} = 2 $$ 2. נתון שההטלה הראשונה היא 3, שזהו מספר אי-זוגי. אנו נדרשים לחשב את התוחלת המותנית $\mathbb{E}[X | R_1=3]$, כאשר $R_1$ היא תוצאת ההטלה הראשונה. להתפלגות הגיאומטרית ישנה **תכונת חוסר הזיכרון**. תכונה זו אומרת שההסתברות למספר ההטלות העתידיות הנדרשות עד להצלחה אינה תלויה בתוצאות העבר (כל עוד לא הושגה הצלחה). מכיוון שההטלה הראשונה הייתה כישלון (תוצאה אי-זוגית), הניסוי למעשה "מתחיל מחדש" לאחר ההטלה הראשונה. מספר ההטלות הנוספות הנדרשות עד לקבלת מספר זוגי מתפלג גם הוא גיאומטרית עם אותה הסתברות להצלחה $p=1/2$, ולכן תוחלת מספר ההטלות הנוספות היא $\mathbb{E}[X] = 2$. המספר הכולל של ההטלות במקרה זה הוא ההטלה הראשונה (שכבר התרחשה) ועוד מספר ההטלות הנוספות. לכן: $$ \mathbb{E}[X | R_1=3] = 1 + \mathbb{E}[X] = 1 + 2 = 3 $$ ### סעיף ב אנו רוצים לחשב את $\mathbb{E}[Y | X \leq 2]$. נשתמש בנוסחת ה**תוחלת המותנית**: $$ \mathbb{E}[Y | X \leq 2] = \frac{\mathbb{E}[Y \cdot I_{\{X \leq 2\}}]}{P(X \leq 2)} $$ כאשר $I_A$ היא פונקציית האינדיקטור של מאורע $A$. ראשית, נחשב את ההסתברות במכנה: $P(X=1) = p = \frac{1}{2}$ $P(X=2) = (1-p)p = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ $$ P(X \leq 2) = P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$ כעת, נחשב את התוחלת במונה, תוך שימוש בחוק התוחלת השלמה: $\mathbb{E}[Y \cdot I_{\{X \leq 2\}}] = \mathbb{E}[Y | X=1]P(X=1) + \mathbb{E}[Y | X=2]P(X=2)$ * **המקרה $X=1$**: ההטלה הראשונה היא זוגית. $Y$ הוא סכום התוצאות, כלומר תוצאת ההטלה הראשונה. התוצאות האפשריות הן {2, 4, 6}, כל אחת בהסתברות שווה (בהינתן שהתוצאה זוגית). $$ \mathbb{E}[Y | X=1] = \mathbb{E}[R_1 | R_1 \in \{2,4,6\}] = \frac{2+4+6}{3} = \frac{12}{3} = 4 $$ * **המקרה $X=2$**: ההטלה הראשונה אי-זוגית ($R_1 \in \{1,3,5\}$) והשנייה זוגית ($R_2 \in \{2,4,6\}$). $Y = R_1+R_2$. עקב אי-תלות ההטלות: $$ \mathbb{E}[Y | X=2] = \mathbb{E}[R_1+R_2 | R_1 \text{ odd}, R_2 \text{ even}] = \mathbb{E}[R_1 | R_1 \text{ odd}] + \mathbb{E}[R_2 | R_2 \text{ even}] $$ $\mathbb{E}[R_1 | R_1 \text{ odd}] = \frac{1+3+5}{3} = \frac{9}{3} = 3$ $\mathbb{E}[R_2 | R_2 \text{ even}] = \frac{2+4+6}{3} = \frac{12}{3} = 4$ ולכן, $\mathbb{E}[Y | X=2] = 3+4=7$. נציב חזרה בביטוי לתוחלת במונה: $\mathbb{E}[Y \cdot I_{\{X \leq 2\}}] = (4) \cdot P(X=1) + (7) \cdot P(X=2) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{1}{4} = 2 + \frac{7}{4} = \frac{8+7}{4} = \frac{15}{4}$ לבסוף, נחשב את התוחלת המותנית המבוקשת: $$ \mathbb{E}[Y | X \leq 2] = \frac{15/4}{3/4} = \frac{15}{3} = 5 $$ ### סעיף ג נסמן ב-$E = \mathbb{E}[Z]$ את התוחלת המבוקשת. נשתמש בשיטת **מיזוג על ההטלה הראשונה** כדי למצוא משוואה עבור $E$. ההסתברות לתוצאה זוגית (E) היא $p=1/2$, וההסתברות לתוצאה אי-זוגית (O) היא $q=1/2$. נשתמש בנוסחת התוחלת השלמה: $E = \mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[Z | R_1=\text{O}] P(R_1=\text{O}) + \mathbb{E}[Z | R_1=\text{E}] P(R_1=\text{E})$ * אם ההטלה הראשונה אי-זוגית ($R_1=\text{O}$), הניסוי למעשה מתחיל מחדש. בזבזנו הטלה אחת, והתוחלת של מספר ההטלות הנוספות שתידרשנה היא $E$. לכן: $\mathbb{E}[Z | R_1=\text{O}] = 1 + E$ * אם ההטלה הראשונה זוגית ($R_1=\text{E}$), עלינו למזג על ההטלה השנייה: $\mathbb{E}[Z | R_1=\text{E}] = \mathbb{E}[Z | R_1=\text{E}, R_2=\text{E}]P(R_2=\text{E}) + \mathbb{E}[Z | R_1=\text{E}, R_2=\text{O}]P(R_2=\text{O})$ - אם גם ההטלה השנייה זוגית ($R_2=\text{E}$), הניסוי מסתיים לאחר 2 הטלות. לכן, $\mathbb{E}[Z | R_1=\text{E}, R_2=\text{E}] = 2$. - אם ההטלה השנייה אי-זוגית ($R_2=\text{O}$), הרצף נשבר, ואנו חוזרים למצב ההתחלתי. בזבזנו 2 הטלות, והתוחלת למספר ההטלות הנוספות היא $E$. לכן, $\mathbb{E}[Z | R_1=\text{E}, R_2=\text{O}] = 2 + E$. נציב חזרה: $\mathbb{E}[Z | R_1=\text{E}] = 2 \cdot (1/2) + (2+E) \cdot (1/2) = 1 + 1 + E/2 = 2 + E/2$. כעת נציב את כל הביטויים במשוואה המקורית עבור $E$: $E = (1+E) \cdot \frac{1}{2} + (2 + E/2) \cdot \frac{1}{2}$ $E = \frac{1}{2} + \frac{E}{2} + 1 + \frac{E}{4}$ $E = \frac{3}{2} + \frac{3E}{4}$ נעביר אגפים: $E - \frac{3E}{4} = \frac{3}{2}$ $\frac{E}{4} = \frac{3}{2}$ $E = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$ לכן, התוחלת של מספר ההטלות הכולל היא $\mathbb{E}[Z]=6$.

נתונה קובייה הוגנת הממוספרת מ-1 ועד 6 (לכל תוצאה אותה ההסתברות). נערך הניסוי הבא: מטילים את הקובייה עד שמתקבל מספר זוגי. נסמן ב-

X

את מספר ההטלות בניסוי (כולל ההטלה האחרונה).

סעיף א (8 נק')
1. חשב/י את

E [X]

. נמק/י את חישובך. (4 נק')
2. בהינתן שתוצאת ההטלה הראשונה היא 3, חשב את התוחלת של

X

(4 נק').

סעיף ב (9 נק')
נסמן ב-

Y

את סכום התוצאות הכולל בכל ההטלות שנערכו בניסוי. חשב את

E [Y ∣ X \leq 2]

. נמק/י את חישוביך.

סעיף ג (8 נק')
נערך הניסוי החדש הבא: קוביית משחק הוגנת מוטלת עד שמתקבל רצף של שני מספרים זוגיים בשתי הטלות עוקבות. נסמן ב-

Z

את מספר ההטלות הכולל (כולל ההטלה האחרונה). חשב/י את

E [Z]

. נמק/י את חישובך.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב2020סמסטר א

★★★★★

משתנה מקרימשתנה מקרי בדידהתפלגות גאומטריתתוחלתתוחלת מותניתהסתברות מותניתאי-תלות

סעיף א': זהו את ההתפלגות של מספר ההטלות עד להצלחה הראשונה וזכרו את תכונת חוסר הזיכרון. סעיף ב': חשבו את התוחלת של סכום התוצאות עבור כל אחד מהמקרים (

X = 1

ו-

X = 2

) והשתמשו בהסתברויות המותנות. סעיף ג': הגדירו משוואה רקורסיבית עבור התוחלת על ידי מיזוג על תוצאות ההטלות הראשונות.

סעיף א

1. המשתנה המקרי

X

סופר את מספר ההטלות עד לקבלת תוצאה זוגית בפעם הראשונה. זוהי הגדרה של משתנה מקרי גיאומטרי. הצלחה בניסוי היא קבלת מספר זוגי (2, 4, או 6). ההסתברות להצלחה בכל הטלה היא

p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

.
לכן,

X \sim Geom (p = \frac{1}{2})

.
התוחלת של משתנה מקרי גיאומטרי

X \sim Geom (p)

נתונה על ידי הנוסחה

E [X] = \frac{1}{p}

.
במקרה שלנו:

E [X] = \frac{1}{1/2} = 2

2. נתון שההטלה הראשונה היא 3, שזהו מספר אי-זוגי. אנו נדרשים לחשב את התוחלת המותנית

E [X ∣ R_{1} = 3]

, כאשר

R_{1}

היא תוצאת ההטלה הראשונה.
להתפלגות הגיאומטרית ישנה תכונת חוסר הזיכרון. תכונה זו אומרת שההסתברות למספר ההטלות העתידיות הנדרשות עד להצלחה אינה תלויה בתוצאות העבר (כל עוד לא הושגה הצלחה).
מכיוון שההטלה הראשונה הייתה כישלון (תוצאה אי-זוגית), הניסוי למעשה "מתחיל מחדש" לאחר ההטלה הראשונה. מספר ההטלות הנוספות הנדרשות עד לקבלת מספר זוגי מתפלג גם הוא גיאומטרית עם אותה הסתברות להצלחה

p = 1/2

, ולכן תוחלת מספר ההטלות הנוספות היא

E [X] = 2

.
המספר הכולל של ההטלות במקרה זה הוא ההטלה הראשונה (שכבר התרחשה) ועוד מספר ההטלות הנוספות. לכן:

E [X ∣ R_{1} = 3] = 1 + E [X] = 1 + 2 = 3

סעיף ב

אנו רוצים לחשב את

E [Y ∣ X \leq 2]

. נשתמש בנוסחת התוחלת המותנית:

E [Y ∣ X \leq 2] = \frac{E [ Y \cdot I _{{X \leq 2}} ]}{P ( X \leq 2 )}

כאשר

I_{A}

היא פונקציית האינדיקטור של מאורע

A

.

ראשית, נחשב את ההסתברות במכנה:

P (X = 1) = p = \frac{1}{2}

P (X = 2) = (1 - p) p = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

P (X \leq 2) = P (X = 1) + P (X = 2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

כעת, נחשב את התוחלת במונה, תוך שימוש בחוק התוחלת השלמה:

E [Y \cdot I_{{X \leq 2}}] = E [Y ∣ X = 1] P (X = 1) + E [Y ∣ X = 2] P (X = 2)

**המקרה $X = 1$ **: ההטלה הראשונה היא זוגית. $Y$ הוא סכום התוצאות, כלומר תוצאת ההטלה הראשונה. התוצאות האפשריות הן {2, 4, 6}, כל אחת בהסתברות שווה (בהינתן שהתוצאה זוגית).

E [Y ∣ X = 1] = E [R_{1} ∣ R_{1} \in {2, 4, 6}] = \frac{2 + 4 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4

**המקרה $X = 2$ **: ההטלה הראשונה אי-זוגית ( $R_{1} \in {1, 3, 5}$ ) והשנייה זוגית ( $R_{2} \in {2, 4, 6}$ ). $Y = R_{1} + R_{2}$ . עקב אי-תלות ההטלות:

E [Y ∣ X = 2] = E [R_{1} + R_{2} ∣ R_{1} odd, R_{2} even] = E [R_{1} ∣ R_{1} odd] + E [R_{2} ∣ R_{2} even]

E [R_{1} ∣ R_{1} odd] = \frac{1 + 3 + 5}{3} = \frac{9}{3} = 3

E [R_{2} ∣ R_{2} even] = \frac{2 + 4 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4

ולכן,

E [Y ∣ X = 2] = 3 + 4 = 7

.

נציב חזרה בביטוי לתוחלת במונה:

E [Y \cdot I_{{X \leq 2}}] = (4) \cdot P (X = 1) + (7) \cdot P (X = 2) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{1}{4} = 2 + \frac{7}{4} = \frac{8 + 7}{4} = \frac{15}{4}

לבסוף, נחשב את התוחלת המותנית המבוקשת:

E [Y ∣ X \leq 2] = \frac{15/4}{3/4} = \frac{15}{3} = 5

סעיף ג

נסמן ב-

E = E [Z]

את התוחלת המבוקשת. נשתמש בשיטת מיזוג על ההטלה הראשונה כדי למצוא משוואה עבור

E

.
ההסתברות לתוצאה זוגית (E) היא

p = 1/2

, וההסתברות לתוצאה אי-זוגית (O) היא

q = 1/2

.

נשתמש בנוסחת התוחלת השלמה:

E = E [Z] = E [Z ∣ R_{1} = O] P (R_{1} = O) + E [Z ∣ R_{1} = E] P (R_{1} = E)

אם ההטלה הראשונה אי-זוגית ( $R_{1} = O$ ), הניסוי למעשה מתחיל מחדש. בזבזנו הטלה אחת, והתוחלת של מספר ההטלות הנוספות שתידרשנה היא $E$ . לכן:

E [Z ∣ R_{1} = O] = 1 + E

אם ההטלה הראשונה זוגית ( $R_{1} = E$ ), עלינו למזג על ההטלה השנייה:

E [Z ∣ R_{1} = E] = E [Z ∣ R_{1} = E, R_{2} = E] P (R_{2} = E) + E [Z ∣ R_{1} = E, R_{2} = O] P (R_{2} = O)

אם גם ההטלה השנייה זוגית ( $R_{2} = E$ ), הניסוי מסתיים לאחר 2 הטלות. לכן, $E [Z ∣ R_{1} = E, R_{2} = E] = 2$ .
אם ההטלה השנייה אי-זוגית ( $R_{2} = O$ ), הרצף נשבר, ואנו חוזרים למצב ההתחלתי. בזבזנו 2 הטלות, והתוחלת למספר ההטלות הנוספות היא $E$ . לכן, $E [Z ∣ R_{1} = E, R_{2} = O] = 2 + E$ .

נציב חזרה:

E [Z ∣ R_{1} = E] = 2 \cdot (1/2) + (2 + E) \cdot (1/2) = 1 + 1 + E /2 = 2 + E /2

.

כעת נציב את כל הביטויים במשוואה המקורית עבור

E

E = (1 + E) \cdot \frac{1}{2} + (2 + E /2) \cdot \frac{1}{2}

E = \frac{1}{2} + \frac{E}{2} + 1 + \frac{E}{4}

E = \frac{3}{2} + \frac{3 E}{4}

נעביר אגפים:

E - \frac{3 E}{4} = \frac{3}{2}

\frac{E}{4} = \frac{3}{2}

E = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6

לכן, התוחלת של מספר ההטלות הכולל היא

E [Z] = 6

שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2020 - משתנה מקרי