שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2018 - התפלגות מעריכית

א. נניח $n$ משתנים אקראיים שווי התפלגות ובלתי תלויים $X_1, X_2, \dots, X_n$. כל משתנה אקראי מפוגל בפילוג אקספוננציאלי $X_i = \text{Exponential}(\lambda)$ עם פרמטר $\lambda = 1$. נסמן את הממוצע $$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$ מהו $n$ עבורו מתקיים $P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) \ge 0.95$? ב. עבור משתנה אקראי $X = \text{Exponential}(\lambda)$ מצא על ידי אי-שיוון מרקוב חסם עליון להסתברות $P(X \ge a)$ עבור קבוע $a$ כלשהו חיובי. השווה להסתברות המדויקת של $P(X \ge a)$

רמז: בחלק א', השתמשו במשפט הגבול המרכזי כדי לקרב את התפלגות ממוצע המדגם להתפלגות נורמלית. בחלק ב', השתמשו בהגדרת אי-שוויון מרקוב והשוו לערך המדויק הנגזר מפונקציית ההתפלגות המצטברת.

פתרון: א. נתון כי $X_i acksim \text{Exponential}(\lambda=1)$. עבור **התפלגות מעריכית**, **התוחלת** ו**השונות** הן: $E[X_i] = \mu = \frac{1}{\lambda} = 1$ $Var(X_i) = \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} = 1$ כעת, נחשב את התוחלת והשונות של **ממוצע המדגם** $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$: $E[\bar{X}] = E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[X_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 = \frac{n}{n} = 1$ מכיוון שהמשתנים **בלתי תלויים**: $Var(\bar{X}) = Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} 1 = \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$ סטיית התקן של הממוצע היא $\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{Var(\bar{X})} = \frac{1}{\sqrt{n}}$. מאחר ש-$n$ צפוי להיות גדול, ניתן להשתמש ב**משפט הגבול המרכזי (CLT)**, הקובע כי התפלגותו של ממוצע המדגם (לאחר נרמול) שואפת להתפלגות נורמלית סטנדרטית: $\frac{\bar{X} - E[\bar{X}]}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - 1}{1/\sqrt{n}} = \sqrt{n}(\bar{X} - 1) \xrightarrow{d} Z \sim N(0,1)$ אנו רוצים למצוא את ה-$n$ עבורו מתקיים $P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) \ge 0.95$. נפשט את אי-השוויון: $P(0.9 \le \bar{X} \le 1.1) = P(-0.1 \le \bar{X} - 1 \le 0.1)$ כעת נבצע סטנדרטיזציה (נרמול) של הביטוי: $P\left(\frac{-0.1}{1/\sqrt{n}} \le \frac{\bar{X} - 1}{1/\sqrt{n}} \le \frac{0.1}{1/\sqrt{n}}\right) \approx P(-0.1\sqrt{n} \le Z \le 0.1\sqrt{n})$ כאשר $Z \sim N(0,1)$. נסמן ב-$\Phi(z)$ את **פונקציית ההתפלגות המצטברת** של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. ההסתברות שווה ל: $\Phi(0.1\sqrt{n}) - \Phi(-0.1\sqrt{n}) = \Phi(0.1\sqrt{n}) - (1 - \Phi(0.1\sqrt{n})) = 2\Phi(0.1\sqrt{n}) - 1$ אנו דורשים שהסתברות זו תהיה גדולה או שווה ל-0.95: $2\Phi(0.1\sqrt{n}) - 1 \ge 0.95$ $2\Phi(0.1\sqrt{n}) \ge 1.95$ $\Phi(0.1\sqrt{n}) \ge 0.975$ מטבלת ההתפלגות הנורמלית, אנו יודעים כי הערך $z$ המקיים $\Phi(z) = 0.975$ הוא $z \approx 1.96$. לכן: $0.1\sqrt{n} \ge 1.96$ $\sqrt{n} \ge 19.6$ $n \ge (19.6)^2 = 384.16$ מכיוון ש-$n$ חייב להיות מספר שלם, ה-$n$ הקטן ביותר המקיים את התנאי הוא $n=385$.$\blacksquare$ ב. **אי-שוויון מרקוב** קובע כי עבור משתנה אקראי אי-שלילי $X$ וקבוע $a > 0$, מתקיים: $P(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a}$ נתון משתנה אקראי $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$. משתנה זה הוא אי-שלילי, ולכן ניתן להשתמש באי-שוויון מרקוב. **התוחלת** של משתנה המתפלג מעריכית היא $E[X] = \frac{1}{\lambda}$. נציב באי-שוויון ונקבל את החסם העליון: $P(X \ge a) \le \frac{1/\lambda}{a} = \frac{1}{\lambda a}$ כעת, נשווה חסם זה להסתברות המדויקת. **פונקציית ההתפלגות המצטברת (CDF)** של $X \sim \text{Exponential}(\lambda)$ היא $F_X(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$ עבור $x \ge 0$. ההסתברות המדויקת היא: $P(X \ge a) = 1 - P(X < a) = 1 - F_X(a) = 1 - (1 - e^{-\lambda a}) = e^{-\lambda a}$ **השוואה:** החסם מאי-שוויון מרקוב הוא $\frac{1}{\lambda a}$, והערך המדויק הוא $e^{-\lambda a}$. החסם תמיד נכון, כלומר $\frac{1}{\lambda a} \ge e^{-\lambda a}$ לכל $\lambda, a > 0$. אי-שוויון זה שקול ל-$e^{\lambda a} \ge \lambda a$ אשר ידוע כנכון. החסם של מרקוב הוא כללי מאוד ולכן בדרך כלל אינו הדוק. ככל ש-$a$ גדל, היחס בין החסם לערך האמיתי, $\frac{1/(\lambda a)}{e^{-\lambda a}} = \frac{e^{\lambda a}}{\lambda a}$, גדל באופן אקספוננציאלי, מה שאומר שהחסם הופך להיות פחות ופחות הדוק.$\blacksquare$