שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2024 - נגזרות

הוכיחו את משפט 7.9: אם $f$ גזירה ב-$x_0$ אז $f$ רציפה ב-$x_0$.

רמז: כתבו $f(x) - f(x_0) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot (x - x_0)$ וחשבו את הגבול כש-$x \to x_0$.

פתרון: **משפט:** אם $f$ גזירה ב-$x_0$ אז $f$ רציפה ב-$x_0$. **הוכחה:** צריך להראות ש-$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, כלומר $\lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) = 0$. לכל $x \neq x_0$ כתוב: $$f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0).$$ נחשב את הגבול: $$\lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot \lim_{x \to x_0} (x - x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0,$$ שבו השתמשנו בכך ש-$f$ גזירה ב-$x_0$ (כלומר הגבול $f'(x_0)$ קיים וסופי) ובמשפט מכפלת גבולות. לכן $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, כלומר $f$ רציפה ב-$x_0$. $\blacksquare$