שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - הטכניון 2024 - נגזרות

(ב) מיצאו מספר רציונלי שהמרחק שלו מ-$\sqrt[4]{20} = (20)^{1/4}$ הוא לכל היותר $\frac{1}{500}$

רמז: בחרו $a=16$ כנקודת הפיתוח של $f(x)=x^{1/4}$ (כי $16^{1/4}=2$ ידוע), ובנו **פולינום טיילור** עד דרגה 2. את גודל השגיאה חסמו באמצעות **שארית לגראנז'** תוך שימוש ב-$c > 16$.

פתרון: נרצה למצוא $q$ רציונלי כך ש-$|q - 20^{1/4}| \leq \frac{1}{500}$. **הרעיון:** נשתמש ב**פולינום טיילור מדרגה 2** של $f(x) = x^{1/4}$ סביב $a = 16$, שבו $f(16) = 2$ ידוע. **חישוב הפולינום:** $$f'(x) = \tfrac{1}{4}x^{-3/4} \implies f'(16) = \tfrac{1}{4}\cdot 2^{-3} = \tfrac{1}{32}$$ $$f''(x) = -\tfrac{3}{16}x^{-7/4} \implies f''(16) = -\tfrac{3}{16}\cdot 2^{-7} = -\tfrac{3}{2048}$$ פולינום טיילור מדרגה 2 ב-$x=20$ (עם $h = 20-16 = 4$): $$P_2(20) = 2 + \frac{1}{32}\cdot 4 + \frac{-3/2048}{2}\cdot 16 = 2 + \frac{1}{8} - \frac{3}{256} = \frac{512+32-3}{256} = \frac{541}{256}$$ זהו מספר רציונלי. נוכיח שהוא קרוב מספיק. **חסם השגיאה — שארית לגראנז':** לפי **משפט טיילור עם שארית לגראנז'**, קיים $c \in (16,20)$ כך ש: $$20^{1/4} - \frac{541}{256} = \frac{f'''(c)}{3!}(4)^3$$ מחשבים: $$f'''(x) = \frac{21}{64}x^{-11/4}$$ מכיוון ש-$c > 16 = 2^4$, מתקיים $c^{-11/4} < 16^{-11/4} = 2^{-11} = \dfrac{1}{2048}$, ולכן: $$\left|20^{1/4} - \frac{541}{256}\right| = \frac{f'''(c)}{6}\cdot 64 < \frac{21}{64}\cdot\frac{1}{2048}\cdot\frac{64}{6} = \frac{21}{6\cdot 2048} = \frac{7}{4096}$$ **בדיקה סופית:** $$\frac{7}{4096} < \frac{1}{500} \iff 7\cdot 500 < 4096 \iff 3500 < 4096 \checkmark$$ לכן: $$\left|20^{1/4} - \frac{541}{256}\right| < \frac{7}{4096} < \frac{1}{500}$$ המספר הרציונלי המבוקש הוא $\displaystyle q = \frac{541}{256}$. $\blacksquare$