שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2023 - אי-שוויון מרקוב

קצב מחלק $n$ חתיכות בשר לעניים. כל חתיכת בשר יכולה להיות כשרה או לא כשרה. סעיף א: (9 נק') נניח (לסעיף זה בלבד) כי מספר החתיכות הלא כשרות מתפלג באופן לא ידוע, אך עם תוחלת $\frac{n}{10}$. תנו חסם עליון להסתברות שמספר חתיכות הבשר שאינן כשרות יהיה גדול מ $\frac{n}{3}$. מעתה והלאה, כל חתיכה היא אינה כשרה בהסתברות 0.01 באופן בלתי תלוי אחת בשנייה. סעיף ב: (8 נק') נניח (לסעיף זה בלבד) שהקצב חילק $n=5000$ חתיכות. חשבו חסם תחתון (מספרי) להסתברות שמספר החתיכות שאינן כשרות יהיה בין 30 ל-100. סעיף ג: (8 נק') (תזכורת: הקצב מחלק $n$ חתיכות כך שכל חתיכה היא אינה כשרה בהסתברות 0.01 באופן בלתי תלוי אחת בשנייה). נניח כי הקצב רוצה שבהסתברות 0.9, מספר החתיכות הלא כשרות שחילק יהיה בטל בשישים. כלומר, הקצב רוצה שבהסתברות 0.9, מספר החתיכות הלא כשרות שחילק יהיה $\frac{1}{60}$ מסך החתיכות. הערך את מספר החתיכות שיצטרך לחלק.

רמז: לסעיף א', השתמשו באי-שוויון מרקוב. לסעיף ב', אי-שוויון צ'בישב ידרוש מציאת תחום סימטרי המוכל בתחום הנתון. לסעיף ג', השתמשו במשפט הגבול המרכזי כדי לקרב את ההתפלגות הבינומית.

פתרון: **סעיף א:** יהי $X$ מספר חתיכות הבשר שאינן כשרות. נתון כי $X$ הוא משתנה מקרי אי-שלילי וכי ה**תוחלת** שלו היא $E[X] = \frac{n}{10}$. אנו רוצים למצוא חסם עליון להסתברות $P(X > \frac{n}{3})$. לשם כך נשתמש ב**אי-שוויון מרקוב**, הקובע כי לכל משתנה מקרי אי-שלילי $X$ ולכל קבוע $a > 0$ מתקיים $P(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a}$. מכיוון שהמאורע $\{X > \frac{n}{3}\}$ מוכל במאורע $\{X \ge \frac{n}{3}\}$, מתקיים $P(X > \frac{n}{3}) \le P(X \ge \frac{n}{3})$. נבחר $a = \frac{n}{3}$ ונציב באי-שוויון: $P(X > \frac{n}{3}) \le \frac{E[X]}{n/3} = \frac{n/10}{n/3} = \frac{n}{10} \cdot \frac{3}{n} = \frac{3}{10} = 0.3$. לפיכך, חסם עליון להסתברות הוא 0.3. $\blacksquare$ **סעיף ב:** יהי $X$ מספר החתיכות שאינן כשרות מתוך $n=5000$. כל חתיכה אינה כשרה בהסתברות $p=0.01$ באופן בלתי תלוי, ולכן $X$ מתפלג **התפלגות בינומית**, $X \sim Bin(5000, 0.01)$. אנו רוצים למצוא חסם תחתון להסתברות $P(30 < X < 100)$. נחשב תחילה את ה**תוחלת** וה**שונות** של $X$: $\mu = E[X] = np = 5000 \cdot 0.01 = 50$, $\sigma^2 = Var(X) = np(1-p) = 50 \cdot 0.99 = 49.5$. נשתמש ב**אי-שוויון צ'בישב**, הקובע כי $P(|X - \mu| < \epsilon) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$. התחום $(30, 100)$ אינו סימטרי סביב התוחלת $\mu=50$. המרחקים מהתוחלת הם $|30-50|=20$ ו-$|100-50|=50$. ניקח תחום סימטרי המוכל בתחום המבוקש, שנקבע על ידי המרחק הקטן יותר, 20. התחום הוא $(50-20, 50+20) = (30, 70)$. המאורע $\{|X-50|<20\}$ מוכל במאורע $\{30<X<100\}$, ולכן $P(30 < X < 100) \ge P(|X-50|<20)$. נציב באי-שוויון צ'בישב עם $\epsilon = 20$: $P(|X-50|<20) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{20^2} = 1 - \frac{49.5}{400} = 1 - 0.12375 = 0.87625$. לכן, חסם תחתון להסתברות המבוקשת הוא 0.87625. $\blacksquare$ **סעיף ג:** יהי $X_n$ מספר החתיכות הלא כשרות מתוך $n$. $X_n \sim Bin(n, p=0.01)$. הביטוי "בטל בשישים" פירושו שהחלק היחסי של החתיכות הלא כשרות הוא לכל היותר $\frac{1}{60}$. לכן, הדרישה היא $P(X_n \le \frac{n}{60}) \ge 0.9$. כדי להעריך את $n$, נשתמש ב**קירוב נורמלי להתפלגות הבינומית** (מ**משפט הגבול המרכזי**). ה**תוחלת** וה**שונות** הן $\mu_n = 0.01n$ ו-$\sigma_n^2 = 0.0099n$. אנו מקרבים את $X_n$ על ידי התפלגות נורמלית $N(0.01n, 0.0099n)$. לאחר תִקנון (סטנדרטיזציה), הדרישה היא: $P\left(Z \le \frac{n/60 - 0.01n}{\sqrt{0.0099n}}\right) \ge 0.9$, כאשר $Z \sim N(0,1)$. נסמן ב-$\Phi(z)$ את פונקציית ההתפלגות המצטברת של $Z$. אנו דורשים $\Phi\left(\frac{n/60 - 0.01n}{\sqrt{0.0099n}}\right) \ge 0.9$. מהטבלה הנורמלית, ערך ה-z המתאים להסתברות 0.9 הוא $z_{0.9} \approx 1.282$. לכן, האי-שוויון הוא: $\frac{n/60 - 0.01n}{\sqrt{0.0099n}} \ge 1.282$. המונה הוא $n(\frac{1}{60}-\frac{1}{100}) = \frac{n}{150}$. האי-שוויון הוא $\frac{n/150}{\sqrt{0.0099n}} = \frac{\sqrt{n}}{150\sqrt{0.0099}} \ge 1.282$. נפתור עבור $n$: $\sqrt{n} \ge 1.282 \cdot 150 \cdot \sqrt{0.0099} \approx 1.282 \cdot 150 \cdot 0.0995 \approx 19.13$. $n \ge 19.13^2 \approx 365.96$. מכיוון ש-$n$ חייב להיות מספר שלם, המספר המוערך של חתיכות הוא 366. $\blacksquare$