קורס: אינפי 1 / חדו"א 1
נושאים: גבולות, פונקציות, טריגונומטריה
רמת קושי: קל-בינוני
חשבו את הגבול:
$$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(5x)}$$
רמז: השתמשו בגבול היסודי $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t} = 1$ (ובאופן דומה $\lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1$). כתבו את הביטוי כמכפלה של $\frac{\tan(3x)}{3x}\cdot\frac{5x}{\sin(5x)}\cdot\frac{3}{5}$.
פתרון: **תשובה:** $\dfrac{3}{5}$
**פתרון:**
נכתוב:
$$\frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin(5x)} \cdot \frac{3x}{5x} = \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin(5x)} \cdot \frac{3}{5}$$
כאשר $x \to 0$:
- $\dfrac{\tan(3x)}{3x} \to 1$ (כי $3x \to 0$)
- $\dfrac{5x}{\sin(5x)} \to 1$ (כי $5x \to 0$)
לכן:
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan(3x)}{\sin(5x)} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}. \qquad\blacksquare$$