שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2020 - נגזרות

תהי $f$ פונקציה גזירה פעמיים בקטע $I$. אז (עבור $n \geq 2$ טבעי): א. אם $f$ מתאפסת בדיוק ב-$n$ נקודות בקטע $I$, אז $f'$ מתאפסת בקטע $I$ לפחות ב-$n-1$ נקודות. ב. אם $f$ מתאפסת בדיוק ב-$n$ נקודות בקטע $I$, אז $f'$ מתאפסת בקטע $I$ לכל היותר ב-$n-1$ נקודות. ג. אם $f$ מתאפסת בדיוק ב-$n$ נקודות בקטע $I$, אז $f''$ מתאפסת בקטע $I$ לפחות ב-$n-1$ נקודות.

רמז: לגבי א: אם $f(x_1) = \ldots = f(x_n) = 0$ עם $x_1 < \ldots < x_n$, החילו משפט רול על כל קטע $[x_i, x_{i+1}]$. לגבי ב: חפשו דוגמה שבה $f'$ מתאפסת ביותר מ-$n-1$ נקודות.

פתרון: **א — נכונה:** תהיינה $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ הנקודות שבהן $f$ מתאפסת. על כל קטע $[x_i, x_{i+1}]$ ($i=1,\ldots,n-1$): $f(x_i) = f(x_{i+1}) = 0$ ו-$f$ גזירה. לפי **משפט רול**, קיים $c_i \in (x_i, x_{i+1})$ עם $f'(c_i) = 0$. מכיוון שהקטעים זרים, $c_1, c_2, \ldots, c_{n-1}$ הם $n-1$ נקודות שונות שבהן $f' = 0$. ✓ **ב — שגויה:** דוגמה: $f(x) = x^2(x-1)$ על $\mathbb{R}$. אפסים: $x=0$ (כפול) ו-$x=1$, כלומר $n=2$ נקודות **שונות**. $f'(x) = 3x^2-2x = x(3x-2)$, אפסי $f'$: $x=0$ ו-$x=2/3$ — שני אפסים, בעוד $n-1=1$. ✗ **ג — שגויה:** ממשפט רול, $f'$ יש לפחות $n-1$ אפסים. ממשפט רול שוב על $f'$, ל-$f''$ יש לפחות $n-2$ אפסים, לא $n-1$. ✗ **התשובה הנכונה: א.**