שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2023 - גבולות

חשבו את הגבולות הבאים. הוכיחו תשובתכם (8 נק לסעיף): א. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x^{10}+20x+1}}{(1+2x)^5}$ ב. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ (סדרה) ג. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \left(1+\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{x\cos\left(\frac{1}{x}\right)}$

רמז: בסעיף א חלצו $x^5$ מהמונה ומהמכנה. בסעיף ב השתמשו במבחן המנה $\frac{a_{n+1}}{a_n}$. בסעיף ג כתבו את הביטוי בצורה $e^{\lim}$ באמצעות הזהות $A^B = e^{B\ln A}$.

פתרון: **סעיף א:** נחלץ $x^5$ מהמונה ומהמכנה. במונה: $$\sqrt{x^{10}+20x+1} = x^5\sqrt{1+\frac{20}{x^9}+\frac{1}{x^{10}}}$$ במכנה: $$(1+2x)^5 = x^5\left(\frac{1}{x}+2\right)^5$$ לכן: $$\lim_{x\to\infty} \frac{x^5\sqrt{1+\frac{20}{x^9}+\frac{1}{x^{10}}}}{x^5\left(\frac{1}{x}+2\right)^5} = \frac{\sqrt{1}}{2^5} = \frac{1}{32}$$ **סעיף ב:** נסמן $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ ונחשב את המנה: $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{n+1}{2(2n+1)}$$ כאשר $n\to\infty$: $$\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{1}{4} < 1$$ לכן לפי מבחן המנה לסדרות, $a_n \to 0$. **סעיף ג:** נכתוב: $$\left(1+\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{x\cos\left(\frac{1}{x}\right)} = e^{x\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\ln\left(1+\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)}$$ כאשר $x\to\infty$, נסמן $t=\frac{1}{x}\to 0$. נשתמש בקירובים $\sin t \approx t$ ו-$\ln(1+t)\approx t$ ו-$\cos t\to 1$: $$x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\ln\!\left(1+\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right) \approx \frac{1}{t}\cdot 1 \cdot t = 1$$ לכן הגבול הוא $e^1 = e$.