שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - הטכניון 2024 - משפט רול

(א) הוכיחו את משפט רול: תהי $f$ רציפה בקטע החסום והסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ המקיימת $f(a) = f(b)$. אז קיימת $a < c < b$ עבורה $f'(c) = 0$. (ב) הוכיחו כי אם $f: [0,\infty) \to \mathbb{R}$ גזירה וגם $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0 = f(0)$ אז קיים $0 < c$ עבורו $f'(c) = 0$. רמז: הוכיחו קודם במקרה שקיים $0 < x_0$ עבורו $f(x_0) > 0$. (ג) חשבו את הגבול אם קיים במובן הרחב, או הסבירו מדוע אינו קיים במובן הרחב. יהיו $0 < a < b$ $$\lim_{x\to\infty} \frac{\int_x^{x+a} e^{t^2} dt}{\int_x^{x+b} e^{t^2} dt}$$

רמז: לסעיף (א): שלבו את **משפט ויירשטראס** (קיום קיצון גלובלי על קטע סגור) עם **משפט פרמה** (נגזרת מתאפסת בקיצון פנימי). לסעיף (ב): בחרו $R$ גדול מספיק כך ש-$f(R) < f(x_0)$, ואז המקסימום על $[0,R]$ חייב להתקבל בנקודה פנימית. לסעיף (ג): זוהי צורת $\infty/\infty$; נסו להפעיל את **כלל לופיטל** ולהשוות את גדלי $e^{(x+a)^2}$ ו-$e^{(x+b)^2}$.

פתרון: ## חלק (א) — הוכחת משפט רול **נרצה להוכיח:** קיים $c \in (a,b)$ עבורו $f'(c)=0$. מכיוון ש-$f$ רציפה על הקטע החסום והסגור $[a,b]$, **ממשפט ויירשטראס** קיימים מינימום $m$ ומקסימום $M$ של $f$ על $[a,b]$. **מקרה 1: $M = m$.** אזי $f$ קבועה על $[a,b]$, ולכן $f'(c)=0$ לכל $c\in(a,b)$. **מקרה 2: $M > m$.** נראה שלפחות אחד מהקיצונות מתקבל בנקודה פנימית. - אם $M > f(a) = f(b)$: המקסימום אינו מתקבל בקצוות, לכן קיים $c\in(a,b)$ עם $f(c)=M$. - אם $M = f(a) = f(b)$: אזי $m < f(a)$ (כי $M>m$), כלומר המינימום אינו מתקבל בקצוות, לכן קיים $c\in(a,b)$ עם $f(c)=m$. בשני המצבים, $c$ היא נקודת קיצון מקומי בתוך $(a,b)$, ו-$f$ גזירה שם. לכן **ממשפט פרמה** מתקבל $f'(c)=0$. $\blacksquare$ --- ## חלק (ב) — הכללה לקטע $[0,\infty)$ נניח $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ גזירה (ובפרט רציפה), $f(0)=0$, ו-$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0$. **מקרה 1 (לפי הרמז): קיים $x_0>0$ עם $f(x_0)>0$.** מכיוון ש-$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ ו-$f(x_0)>0$, קיים $R>x_0$ כך שלכל $x>R$: $|f(x)|<\tfrac{f(x_0)}{2}$, ובפרט $f(R)<f(x_0)$. נבחן את $f$ על $[0,R]$. **ממשפט ויירשטראס** מתקבל מקסימום, שהוא לפחות $f(x_0)>0$. מכיוון ש-$f(0)=0 < f(x_0)$ וגם $f(R)<f(x_0)$, המקסימום אינו מתקבל בקצוות. לכן קיים $c\in(0,R)\subset(0,\infty)$ עם $f(c)=\max_{[0,R]}f$. **ממשפט פרמה**, $f'(c)=0$. **מקרה 2: קיים $x_0>0$ עם $f(x_0)<0$.** נגדיר $g=-f$. אזי $g$ גזירה, $g(0)=0$, $\lim_{x\to\infty}g(x)=0$, וגם $g(x_0)=-f(x_0)>0$. ממקרה 1 קיים $c>0$ עם $g'(c)=0$, כלומר $f'(c)=0$. **מקרה 3: $f\equiv 0$ על $[0,\infty)$.** כל $c>0$ מקיים $f'(c)=0$. שלושת המקרים ממצים את כל האפשרויות, ולכן קיים $c>0$ עם $f'(c)=0$. $\blacksquare$ --- ## חלק (ג) — חישוב הגבול נסמן $F(x)=\displaystyle\int_x^{x+a}e^{t^2}\,dt$ ו-$G(x)=\displaystyle\int_x^{x+b}e^{t^2}\,dt$. מכיוון ש-$e^{t^2}\geq e^{x^2}$ על $[x,x+a]$: $$F(x)\geq a\,e^{x^2}\xrightarrow{x\to\infty}\infty, \qquad G(x)\geq b\,e^{x^2}\xrightarrow{x\to\infty}\infty.$$ מדובר בצורת $\tfrac{\infty}{\infty}$, ולכן נשתמש ב**כלל לופיטל**. מהחשבון הרגיל של נגזרת אינטגרל עם גבולות תלויי פרמטר: $$F'(x)=e^{(x+a)^2}-e^{x^2}, \qquad G'(x)=e^{(x+b)^2}-e^{x^2}.$$ $G'(x)>0$ לכל $x>0$ (כי $b>0$), תנאי לופיטל מתקיים. נחשב: $$\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{e^{(x+a)^2}-e^{x^2}}{e^{(x+b)^2}-e^{x^2}}.$$ נחלק מעלה ומטה ב-$e^{(x+b)^2}$: $$\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{e^{(x+a)^2-(x+b)^2}-e^{x^2-(x+b)^2}}{1-e^{x^2-(x+b)^2}}.$$ נחשב את המעריכים: $$ (x+a)^2-(x+b)^2 = 2(a-b)x+(a^2-b^2)\xrightarrow{x\to\infty}-\infty \quad(\text{כי }a<b), $$ $$ x^2-(x+b)^2=-2bx-b^2\xrightarrow{x\to\infty}-\infty. $$ לכן מונה $\to 0-0=0$ ומכנה $\to 1-0=1$, ומתקבל: $$\lim_{x\to\infty}\frac{F'(x)}{G'(x)}=0.$$ מכלל לופיטל: $$\lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\int_x^{x+a}e^{t^2}\,dt}{\displaystyle\int_x^{x+b}e^{t^2}\,dt}=\boxed{0}.$$ **אינטואיציה:** $e^{t^2}$ גדל מהר כל כך עד שהמסה של $\int_x^{x+b}$ מרוכזת בקרבת הקצה הימני $x+b$, שם הפונקציה גדולה בסדרי גודל מהחלק $[x,x+a]$. $\blacksquare$