שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2019 - סדרות

תהי $(a_n)$ סדרה המתכנסת לגבול חיובי $L$. הוכיחו כי $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1$.

רמז: קחו לוגריתם: $\ln(a_n^{1/n}) = \frac{\ln a_n}{n}$. מכיוון ש-$a_n \to L > 0$, הסדרה $\ln a_n$ חסומה. השתמשו בכך ש-$\frac{1}{n} \to 0$ ובמשפט הסנדוויץ' או בחוק הגבולות.

פתרון: מכיוון ש-$a_n \to L > 0$, הסדרה $(\ln a_n)$ מתכנסת ל-$\ln L$ (כי $\ln$ רציפה). נשתמש בעובדה ש-$a_n^{1/n} = e^{\frac{\ln a_n}{n}}$: $$\frac{\ln a_n}{n} \to 0 \cdot \ln L = 0$$ (כי $\ln a_n \to \ln L$ סדרה מתכנסת, ובפרט **חסומה**, נאמר $|\ln a_n| \leq M$, ולכן $\left|\frac{\ln a_n}{n}\right| \leq \frac{M}{n} \to 0$.) מכיוון שהפונקציה $e^t$ רציפה: $$a_n^{1/n} = e^{\frac{\ln a_n}{n}} \to e^0 = 1$$ $\blacksquare$