שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - הטכניון 2019 - אינטגרלים

נתון כי $F(x) = \int_0^{x^3} \cos(t^2) dt$ א. $F(x)$ קמורה על $(-\infty, \infty)$ ב. $x = 0$ נקודת פיתול של $F(x)$ ג. $F(x)$ עולה על $(-\infty, \infty)$ ד. $F(1) = 5$ ה. $F(-x) = F(x)$ לכל $x$

רמז: חשבו את $F'(x)$ וגם את $F''(x)$ בעזרת משפט היסוד וכלל השרשרת, ובדקו את סימן $F''$ סביב $x=0$ ואת התנהגות $F(-x)$ על ידי החלפת משתנה.

פתרון: נחשב את $F'(x)$ ו-$F''(x)$ תחילה באמצעות **משפט היסוד של חשבון אינטגרלי** וכלל השרשרת. **גזירה ראשונה:** $$F'(x) = \cos\!\left((x^3)^2\right)\cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^6)$$ **גזירה שנייה:** $$F''(x) = 6x\cos(x^6) + 3x^2\cdot(-\sin(x^6))\cdot 6x^5 = 6x\cos(x^6) - 18x^7\sin(x^6)$$ --- **א. $F(x)$ קמורה על $(-\infty,\infty)$** — **שגוי**. נדרוש $F''(x)\ge 0$ לכל $x$. עבור $x=\pi^{1/6}$ מתקיים $x^6=\pi$ ולכן: $$F''(\pi^{1/6})=6\pi^{1/6}\cos(\pi)-18\pi^{7/6}\sin(\pi)=-6\pi^{1/6}<0$$ אי-השוויון מופר, לכן $F$ אינה קמורה בכל $\mathbb{R}$. --- **ב. $x=0$ נקודת פיתול של $F(x)$** — **נכון**. נבדוק: $F''(0)=6\cdot 0\cdot\cos(0)-18\cdot 0^7\cdot\sin(0)=0$. סביב $x=0$ הביטוי הדומיננטי ב-$F''$ הוא $6x$ (שאר האיבר הוא $O(x^7)$), ולכן: $$F''(x)\approx 6x\quad(x\to 0)$$ - עבור $x>0$ קטן: $F''(x)>0$ - עבור $x<0$ קטן: $F''(x)<0$ הסימן של $F''$ מתחלף ב-$x=0$, לכן זו **נקודת פיתול**. $\blacksquare$ --- **ג. $F(x)$ עולה על $(-\infty,\infty)$** — **שגוי**. נדרוש $F'(x)\ge 0$ לכל $x$. $F'(x)=3x^2\cos(x^6)$, כאשר $3x^2\ge 0$ תמיד, אך $\cos(x^6)$ שלילי כאשר $x^6\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$, כלומר עבור $x>\left(\frac{\pi}{2}\right)^{1/6}$. למשל, עבור $x=\pi^{1/6}$: $\cos(\pi)=-1$ ולכן $F'(\pi^{1/6})<0$. $F$ אינה מונוטונית עולה. --- **ד. $F(1)=5$** — **שגוי**. $$F(1)=\int_0^1\cos(t^2)\,dt$$ זהו אינטגרל פרנל, שערכו המספרי כ-$0.904\ldots$ ולכן בוודאי $F(1)\ne 5$. --- **ה. $F(-x)=F(x)$ לכל $x$** — **שגוי** ($F$ היא פונקציה **אי-זוגית**). $$F(-x)=\int_0^{(-x)^3}\cos(t^2)\,dt=\int_0^{-x^3}\cos(t^2)\,dt$$ בהצבה $t=-u$ (כאשר $t:0\to -x^3$ גורר $u:0\to x^3$, $dt=-du$): $$F(-x)=\int_0^{x^3}\cos(u^2)\cdot(-1)\,du=-F(x)$$ לכן $F(-x)=-F(x)$ — **פונקציה אי-זוגית**, לא זוגית. --- **סיכום:** רק טענה **ב** נכונה.