שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - סדרות

תהי $(a_n)$ סדרה חיובית המקיימת $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$. אז קיים $c > 1$ כך ש-$\sqrt[n]{a_n} > c$ כמעט לכל $n$. א. הטענה נכונה. ב. הטענה אינה נכונה.

רמז: נסו דוגמה נגדית עם $a_n = n$ — מה הוא $\sqrt[n]{n}$?

פתרון: **הטענה אינה נכונה. תשובה: ב.** **דוגמה נגדית:** $a_n = n$. אז $\lim a_n = +\infty$, אך: $$\sqrt[n]{a_n} = n^{1/n} = e^{\frac{\ln n}{n}} \xrightarrow[n\to\infty]{} e^0 = 1.$$ לכן לכל $c > 1$, מכיוון ש-$\sqrt[n]{n} \to 1 < c$, קיים $N$ כך שלכל $n > N$: $\sqrt[n]{n} < c$. לא קיים $c > 1$ שמקיים את הנדרש.