שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2025 - גבולות

חשבו את הגבול הבא: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x^x} - 1\right)$$

רמז: כתבו $x^{-x} = e^{-x \ln x}$ והשתמשו בקירוב $\frac{e^t - 1}{t} \to 1$ כאשר $t \to 0$, עם $t = -x\ln x$.

פתרון: נסמן $L = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x^x} - 1\right) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{-x} - 1}{x}$. נזכור ש-$x^x = e^{x \ln x}$, ולכן $x^{-x} = e^{-x \ln x}$. ידוע ש-$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ (כי $x \to 0^+$ "חזק" מ-$\ln x \to -\infty$). נסמן $t = -x \ln x \to 0$ כש-$x \to 0^+$. אז: $$\frac{e^{-x\ln x} - 1}{x} = \frac{e^t - 1}{t} \cdot \frac{t}{x} = \frac{e^t - 1}{t} \cdot \frac{-x \ln x}{x} = \frac{e^t - 1}{t} \cdot (-\ln x)$$ כאשר $x \to 0^+$: הגורם $\frac{e^t - 1}{t} \to 1$ (כי $t \to 0$), והגורם $-\ln x \to +\infty$. לכן: $$L = \lim_{x \to 0^+} 1 \cdot (-\ln x) = +\infty$$ **הגבול הוא $+\infty$ (הגבול מתבדר לאינסוף).**