שאלת מבחן בסטטיסטיקה לפסיכולוגיה א׳ - אוניברסיטת תל אביב 2023 - ציון תקן

במדגם של משתנה $x$, הכפילו את כל ערכי המדגם פי $\bar{x}$ ($s_n > 0$). אם תקננו את כל ערכי המדגם אחרי הטרנספורמציה, מה נכון בהכרח לגבי סכום כל הערכים המתוקננים? א. יגדל פי $\bar{x}$ ב. יגדל פי $\bar{x}^2$ ג. יהיה שווה ל-$z_{\bar{x}}$ ד. יהיה שווה ל-$s_{n_z}$

רמז: אחרי תקנון (z-scores), סכום כל ציוני התקן תמיד שווה ל-0 (כי הממוצע של ציוני התקן הוא 0). אבל חישבו: לפני הטרנספורמציה, סכום ציוני התקן = 0. אחרי הטרנספורמציה (כפל ב-$\bar{x}$), ציוני התקן לא משתנים (כפל בקבוע לא משנה ציוני תקן). אז סכומם שוב 0. מה זה $z_{\bar{x}}$?

פתרון: **ג. יהיה שווה ל-$z_{\bar{x}}$** אחרי הכפלת כל הערכים ב-$\bar{x}$: - ממוצע חדש: $\bar{x}' = \bar{x} \cdot \bar{x} = \bar{x}^2$ - סטיית תקן חדשה: $s_n' = |\bar{x}| \cdot s_n$ תקנון הערכים החדשים: $$z_i' = \frac{x_i' - \bar{x}'}{s_n'} = \frac{\bar{x} \cdot x_i - \bar{x}^2}{|\bar{x}| \cdot s_n} = \frac{\bar{x}(x_i - \bar{x})}{|\bar{x}| \cdot s_n}$$ אם $\bar{x} > 0$: $z_i' = \frac{x_i - \bar{x}}{s_n} = z_i$ (ציוני התקן לא משתנים). סכום ציוני התקן תמיד שווה ל-0, ו-$z_{\bar{x}} = \frac{\bar{x} - \bar{x}}{s_n} = 0$. לכן סכום כל הערכים המתוקננים = 0 = $z_{\bar{x}}$. גם אם $\bar{x} < 0$, הציונים יתהפכו אבל סכומם עדיין 0 = $z_{\bar{x}}$.