שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - הוכחה

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע $I$, ותהי $(x_n)$ סדרת קושי כך שלכל $n$ מתקיים $x_n \in I$. הוכיחו ש-$f(x) = \ln(x^2 + \cos^2 x)$ רציפה במ"ש בקטע $[0,\infty)$.

רמז: חלקו ל-$[0,1]$ (קטע סגור וחסום — רציפות במ"ש אוטומטית) ול-$[1,\infty)$ (הוכחתם בסעיף הקודם). שדכו את שניהם יחד תוך זהירות לגבי נקודות מקרוב ל-$x=1$.

פתרון: ידוע שרציפות במ"ש על $[0,1]$ ועל $[1,\infty)$ גוררת רציפות במ"ש על $[0,\infty)$, בתנאי ש-$f$ רציפה על $[0,\infty)$ (שהוכחנו). נוכיח זאת ישירות: **על $[0,1]$:** $f$ רציפה על הקטע הסגור והחסום $[0,1]$, ולפי **משפט קנטור** $f$ רציפה במידה שווה על $[0,1]$. נסמן את מודול הרציפות: לכל $\varepsilon > 0$ קיים $\delta_1 > 0$ כך שאם $x,y \in [0,1]$ ו-$|x-y| < \delta_1$ אז $|f(x)-f(y)| < \varepsilon/2$. **על $[1,\infty)$:** מהסעיף הקודם, $f$ מקיימת תנאי ליפשיץ עם קבוע $L = 3$. לכל $\varepsilon > 0$ קיים $\delta_2 = \varepsilon/6$ כך שאם $x,y \in [1,\infty)$ ו-$|x-y| < \delta_2$ אז $|f(x)-f(y)| < \varepsilon/2$. **על $[0,\infty)$:** יהי $\varepsilon > 0$ ונגדיר $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1/2)$. יהיו $x, y \in [0,\infty)$ עם $|x-y| < \delta$. נחלק למקרים: - אם $x, y \in [0,1]$: $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$ לפי הרציפות במ"ש על $[0,1]$. - אם $x, y \in [1,\infty)$: $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$ לפי הרציפות במ"ש על $[1,\infty)$. - אם $x \in [0,1)$ ו-$y \in [1,\infty)$ (או להפך): מכיוון ש-$|x-y| < \delta \leq 1/2$, נובע $|x-1| < 1/2$ ו-$|y-1| < 1/2$, לכן $x,y \in (1/2, 3/2)$. בפרט $x,y \in [0,1] \cup [1,\infty)$ ושניהם קרובים ל-1. נכתוב $|f(x)-f(y)| \leq |f(x)-f(1)| + |f(1)-f(y)|$. $x \in [0,1]$ ו-$|x-1| < \delta_1$, לכן $|f(x)-f(1)| < \varepsilon/2$. $y \in [1,\infty)$ ו-$|y-1| < \delta_2$, לכן $|f(y)-f(1)| < \varepsilon/2$. לכן $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$. בכל המקרים $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$, ולכן $f$ רציפה במידה שווה על $[0,\infty)$. $\blacksquare$