שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2023 - מרחב הסתברות

מפעל מייצר רובוטים מסוג $X$ ומסוג $Y$. הייצור נעשה בשני פסי ייצור שונים. רובוט מסוג $X$ מיוצר באופן תקין בהסתברות $p$. ($0 < p < 1$) רובוט מסוג $Y$ מיוצר באופן תקין בהסתברות $q$. ($0 < q < 1$) במפעל מייצרים שני רובוטים מסוג $X$ ושני רובוטים מסוג $Y$. ייצור תקין של רובוט הוא בלתי תלוי בייצור הרובוטים האחרים. הרובוטים צריכים לבצע את משימות A, B, C ו-D. לכל משימה יש תנאים מסוימים שחייבים להתקיים על מנת שניתן יהיה לבצעה. התנאים הם: משימה A – לפחות רובוט אחד, לא משנה מאיזה סוג, תקין (אינו תקול). משימה B – שני רובוטים מאותו הסוג תקינים. משימה C – לפחות שני רובוטים שונים תקינים. משימה D – כל הרובוטים מסוג $X$ תקינים. הערה: בסעיפים הבאים אין צורך לפשט את הביטויים. סעיף א' (8 נק') חשבו את ההסתברות שניתן לבצע את משימה A. סעיף ב' (8 נק') חשבו את ההסתברות שניתן לבצע לפחות אחת ממשימות B ו-C בהינתן שניתן לבצע את משימה A? סעיף ג' (9 נק') סעיף 1: הרובוטים צריכים לבצע שתי משימות באופן סדרתי כלומר אחת אחרי השנייה. המשימה הראשונה שעליהם לבצע היא משימה D. אם ניתן לבצע את משימה D, אז המשימה השנייה שעליהם לבצע היא משימה C. אם לא ניתן לבצע את משימה D, אז המשימה השנייה שעליהם לבצע היא משימה B. מה ההסתברות שניתן לבצע את המשימה השנייה? סעיף 2: נתון כי $p=0.5$. האם קיים ערך של $q$ עבורו ביצוע משימה D אינה תלויה בביצוע משימה B?

רמז: הגדירו משתנים מקריים המונים את מספר הרובוטים התקינים מכל סוג. השתמשו בתכונת האי-תלות בין ייצור הרובוטים ובנוסחת ההסתברות השלמה והסתברות מותנית על מנת לפתור את הסעיפים השונים.

פתרון: ראשית, נגדיר את המשתנים המקריים והמאורעות הרלוונטיים. יהי $N_X$ מספר הרובוטים התקינים מסוג $X$. $N_X hicksim ext{Bin}(2, p)$. יהי $N_Y$ מספר הרובוטים התקינים מסוג $Y$. $N_Y hicksim ext{Bin}(2, q)$. המשתנים $N_X$ ו-$N_Y$ הם **בלתי תלויים**. ההסתברויות עבור $N_X$ הן: $P(N_X=0) = (1-p)^2$ $P(N_X=1) = 2p(1-p)$ $P(N_X=2) = p^2$ באופן דומה עבור $N_Y$ עם הפרמטר $q$. נגדיר את המאורעות: A: ניתן לבצע את משימה A (לפחות רובוט אחד תקין). $A = \{N_X+N_Y \ge 1\}$. B: ניתן לבצע את משימה B (שני רובוטים מאותו הסוג תקינים). $B = \{N_X=2\} \cup \{N_Y=2\}$. C: ניתן לבצע את משימה C (לפחות שני רובוטים שונים תקינים, כלומר, לפחות אחד מכל סוג). $C = \{N_X \ge 1\} \cap \{N_Y \ge 1\}$. D: ניתן לבצע את משימה D (כל הרובוטים מסוג X תקינים). $D = \{N_X=2\}$. **סעיף א'** נחשב את ההסתברות של המאורע המשלים $A^c$, המייצג את המצב בו כל הרובוטים תקולים. $A^c = \{N_X+N_Y=0\} = \{N_X=0\} \cap \{N_Y=0\}$. בגלל **אי-תלות** בין ייצור הרובוטים מסוגים שונים: $P(A^c) = P(N_X=0) \cdot P(N_Y=0) = (1-p)^2(1-q)^2$. לכן, ההסתברות שניתן לבצע את משימה A היא: $P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - (1-p)^2(1-q)^2$. **סעיף ב'** אנו צריכים לחשב את **ההסתברות המותנית** $P(B \cup C | A)$. לפי הגדרת הסתברות מותנית: $P(B \cup C | A) = \frac{P((B \cup C) \cap A)}{P(A)}$. נשים לב כי אם מאורע B מתרחש, אז לפחות שני רובוטים תקינים ($N_X=2$ או $N_Y=2$), ולכן גם מאורע A מתרחש. כלומר, $B \subset A$. באופן דומה, אם מאורע C מתרחש, אז $N_X \ge 1$ ו-$N_Y \ge 1$, כלומר לפחות שני רובוטים תקינים, ולכן גם מאורע A מתרחש. כלומר, $C \subset A$. מכאן נובע ש-$(B \cup C) \subset A$, ולכן $(B \cup C) \cap A = B \cup C$. לפיכך, עלינו לחשב את $P(B \cup C | A) = \frac{P(B \cup C)}{P(A)}$. נשתמש בנוסחה $P(B \cup C) = P(C) + P(B \cap C^c)$. $P(C) = P(\{N_X \ge 1\} \cap \{N_Y \ge 1\}) = P(N_X \ge 1)P(N_Y \ge 1) = (1 - P(N_X=0))(1 - P(N_Y=0)) = (1-(1-p)^2)(1-(1-q)^2)$. $C^c = \{N_X=0\} \cup \{N_Y=0\}$. $B \cap C^c = (\{N_X=2\} \cup \{N_Y=2\}) \cap (\{N_X=0\} \cup \{N_Y=0\})$. מאורע זה מתקיים אם ( $N_X=2$ וגם $N_Y=0$ ) או ( $N_X=0$ וגם $N_Y=2$ ). מאורעות אלה זרים. $P(B \cap C^c) = P(N_X=2, N_Y=0) + P(N_X=0, N_Y=2) = P(N_X=2)P(N_Y=0) + P(N_X=0)P(N_Y=2) = p^2(1-q)^2 + (1-p)^2q^2$. לכן, $P(B \cup C) = (1-(1-p)^2)(1-(1-q)^2) + p^2(1-q)^2 + (1-p)^2q^2$. וההסתברות המבוקשת היא: $P(B \cup C | A) = \frac{(1-(1-p)^2)(1-(1-q)^2) + p^2(1-q)^2 + (1-p)^2q^2}{1 - (1-p)^2(1-q)^2}$. **סעיף ג'** **סעיף 1:** יהי $S_2$ המאורע שניתן לבצע את המשימה השנייה. נשתמש ב**נוסחת ההסתברות השלמה** על פני המאורעות $D$ ו-$D^c$. $P(S_2) = P(S_2|D)P(D) + P(S_2|D^c)P(D^c)$. - אם $D$ מתרחש, המשימה השנייה היא C. לכן $P(S_2|D) = P(C|D)$. - אם $D^c$ מתרחש, המשימה השנייה היא B. לכן $P(S_2|D^c) = P(B|D^c)$. הנוסחה הופכת ל: $P(S_2) = P(C|D)P(D) + P(B|D^c)P(D^c) = P(C \cap D) + P(B \cap D^c)$. נחשב כל איבר בנפרד: $C \cap D = (\{N_X \ge 1\} \cap \{N_Y \ge 1\}) \cap \{N_X=2\} = \{N_X=2\} \cap \{N_Y \ge 1\}$. $P(C \cap D) = P(N_X=2)P(N_Y \ge 1) = p^2(1 - P(N_Y=0)) = p^2(1-(1-q)^2)$. $B \cap D^c = (\{N_X=2\} \cup \{N_Y=2\}) \cap \{N_X \ne 2\} = (\{N_Y=2\} \cap \{N_X \ne 2\})$. $P(B \cap D^c) = P(N_Y=2)P(N_X \ne 2) = q^2(1-P(N_X=2)) = q^2(1-p^2)$. ההסתברות הכוללת היא: $P(S_2) = p^2(1-(1-q)^2) + q^2(1-p^2)$. **סעיף 2:** מאורעות D ו-B הם **בלתי תלויים** אם ורק אם מתקיים $P(D \cap B) = P(D)P(B)$. נחשב כל אגף: $P(D) = P(N_X=2) = p^2$. נתון $p=0.5$, לכן $P(D)=0.25$. $P(B) = P(\{N_X=2\} \cup \{N_Y=2\}) = P(N_X=2) + P(N_Y=2) - P(N_X=2)P(N_Y=2) = p^2 + q^2 - p^2q^2 = 0.25 + q^2 - 0.25q^2 = 0.25 + 0.75q^2$. $D \cap B = \{N_X=2\} \cap (\{N_X=2\} \cup \{N_Y=2\}) = \{N_X=2\} = D$. לכן, $P(D \cap B) = P(D) = p^2 = 0.25$. נציב במשוואת האי-תלות: $P(D \cap B) = P(D)P(B)$ $p^2 = p^2 (p^2+q^2-p^2q^2)$. מכיוון ש-$p=0.5 \ne 0$, ניתן לחלק ב-$p^2$: $1 = p^2 + q^2 - p^2q^2$ $1 = 0.25 + q^2 - 0.25q^2$ $0.75 = 0.75q^2$ $q^2 = 1$. מכיוון ש-$q$ היא הסתברות, $q \ge 0$, ולכן $q=1$. אולם, נתון בשאלה כי $0 < q < 1$. לכן, לא קיים ערך של $q$ בתחום הנתון המקיים את תנאי האי-תלות. התשובה היא **לא**. $\blacksquare$