שאלת מבחן במתמטיקה בדידה - קבוצות

הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות: (א) תהיינה $A, B$ קבוצות. אז $A \in B \Rightarrow P(A) \subseteq P(B)$. (ב) תהיינה $A, B$ קבוצות. אז $A \in B \Rightarrow P(A) \in P(B)$.

רמז: עבור (א): $A \in B$ אומר ש-$A$ הוא **איבר** של $B$, לא ש-$A \subseteq B$. חפשו דוגמה נגדית: $A = \{1\}$, $B = \{\{1\}\}$. אז $A \in B$ אבל $\emptyset \in P(A)$ — האם $\emptyset \in P(B)$? עבור (ב): $P(A) \in P(B)$ אמ"מ $P(A) \subseteq B$. בדקו עם דוגמה.

פתרון: **(א) לא נכון.** דוגמה נגדית: $A = \{1\}$, $B = \{\{1\}\}$. $A \in B$ — כן, $\{1\} \in \{\{1\}\}$. $\checkmark$ $P(A) = \{\emptyset, \{1\}\}$, $P(B) = \{\emptyset, \{\{1\}\}\}$. $\{1\} \in P(A)$ אבל $\{1\} \notin P(B)$ (כי $\{1\} \not\subseteq B = \{\{1\}\}$, שהרי $1 \notin \{\{1\}\}$). לכן $P(A) \not\subseteq P(B)$. $\blacksquare$ **(ב) לא נכון.** דוגמה נגדית: באותה דוגמה: $P(A) \in P(B)$ אמ"מ $P(A) \subseteq B$. $P(A) = \{\emptyset, \{1\}\}$, $B = \{\{1\}\}$. $\emptyset \in P(A)$ אבל $\emptyset \notin B = \{\{1\}\}$. לכן $P(A) \not\subseteq B$, כלומר $P(A) \notin P(B)$. $\blacksquare$